Question

اگر $ A $ و $ B $ دو پیشامد از فضای نمونه‌ای $ S $ باشند و $ A \subseteq B $ ثابت کنید: $ P(A) \leq P(B) $

Answer 1

یکی از اصول احتمال اینه که اگر $X$ و $Y$ دو پیشامد مجزا از فضای نمونه باشند آنگاه:

$$P(X \cup Y)=P(X)+P(Y)$$

و یکی دیگر از اصول احتمال اینه که برای هر پیشامد $X$ داریم:

$$0 \leq P(X) \leq 1$$

با استفاده از این دو اصل داریم:

$$ if:A \subseteq B \Rightarrow A \cup (B \setminus A),A \cap (B \setminus A)= \emptyset $$

$$ \Rightarrow P(B)=P(A)+P(B \setminus A)$$

$$ \Rightarrow P(A) \leq P(B)$$

$ \Box $