چرا دو رابطهٔ $(a^r)^s=a^{rs}$ و $(ab)^r=a^rb^r$ برای حالتی که توان ها گویا باشند برقرار است؟

Question

برای هر دو عدد گویای $r$ و $s$ و عددهای حقیقیِ مثبتِ $a$ و $b$ نشان دهید که دو رابطهٔ زیر برقرار هستند.

$$(a^r)^s=a^{rs}$$ $$(ab)^r = a^r b^r$$

Answer 1

برای اعداد صحیح ،رابطه دوم‌ را با کمک استقرا ثابت می کنیم. برای $s=1$ داریم$$(ab)^1=a^1b^1$$ فرض کنید برای $s=k$ رابطه برقرار باشد.یعنی داشته باشیم$$(ab)^k=a^kb^k$$ ثابت می کنیم برای$s=k+1$ نیز درست است. داریم$$(ab)^{k+1}=(ab)^k(ab)^1$$ طبق قوانین توان.

طبق فرض استقرا داریم$$(ab)^k=a^kb^k$$ لذا $$a^kb^ka^1b^1=a^ka^1b^kb^1$$که طبق قوانین توان حاصل اخیر برابر$$a^{k+1}b^{k+1}$$ است.

Comments

@mahdiahmadileedari از استقرا زمانی می توانید استفاده کنید که $s,r$ اعداد صحیح باشند.

---

@mahdiahmadileedari دیدگاه آقای @Elyas1 درست است و اثبات شما برای حالت توان‌های صحیح نوشته‌شده‌است.

---

@AmirHosein متن پاسخ را طبق نظرتون اصلاح کردم