به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
193 بازدید
در دبیرستان توسط Pk123 (72 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

برای هر دو عدد گویای $r$ و $s$ و عددهای حقیقیِ مثبتِ $a$ و $b$ نشان دهید که دو رابطهٔ زیر برقرار هستند.

$$(a^r)^s=a^{rs}$$ $$(ab)^r = a^r b^r$$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mahdiahmadileedari (3,043 امتیاز)
ویرایش شده توسط mahdiahmadileedari

برای اعداد صحیح ،رابطه دوم‌ را با کمک استقرا ثابت می کنیم. برای $s=1$ داریم$$(ab)^1=a^1b^1$$ فرض کنید برای $s=k$ رابطه برقرار باشد.یعنی داشته باشیم$$(ab)^k=a^kb^k$$ ثابت می کنیم برای$s=k+1$ نیز درست است. داریم$$(ab)^{k+1}=(ab)^k(ab)^1$$ طبق قوانین توان.

طبق فرض استقرا داریم$$(ab)^k=a^kb^k$$ لذا $$a^kb^ka^1b^1=a^ka^1b^kb^1$$که طبق قوانین توان حاصل اخیر برابر$$a^{k+1}b^{k+1}$$ است.

توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
+1
@mahdiahmadileedari از استقرا زمانی می توانید استفاده کنید که $s,r$ اعداد صحیح باشند.
توسط AmirHosein (19,563 امتیاز)
+1
@mahdiahmadileedari دیدگاه آقای @Elyas1 درست است و اثبات شما برای حالت توان‌های صحیح نوشته‌شده‌است.
توسط mahdiahmadileedari (3,043 امتیاز)
@AmirHosein متن پاسخ را طبق نظرتون اصلاح کردم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...