آیا $a=a^{1+0} = a\times a^0\Longrightarrow a^0=1$ را می توان اثباتی برای $a^0=1$ شمرد؟

Question

چرا برای هر عدد صحیح غیر صفر مثل $a$، $a^0=1$ را تعریف می‌کنند؟ مگر اثبات زیر چه مشکلی دارد؟

$$a=a^{1+0} = a\times a^0\Longrightarrow a^0=1$$

Answer 1

خیر، زیرا شما در حال استفاده از این گزاره هستید که «$x^{a+b}=x^ax^b$ که $x\in\mathbb{Z}$ و $a,b\in\mathbb{N}\cup\lbrace 0\rbrace$». اما برای اثبات این گزاره شما ابتدا نیاز دارید که $x^0$ تعریف‌شده و با معنا باشد که صورت این گزاره معنادار شود که حالا بخواهد درست یا نادرست باشد و در صورت درست‌بودن از آن استفاده کنید و چیزی را ثابت کنید.

پس چیزی که شما به عنوان اثبات معرفی کردید، در واقع یک loop حلقه است که بی‌اعتبار است یعنی از خود حکم برای اثبات حکم استفاده کرده‌اید. مثل این است که شما بگوئید من یک گیاه هستم و وقتی از شما می‌پرسند چرا گیاه هستید بگوئید چون من گیاه هستم!

شما زمانی که پیرامونِ توان‌های طبیعی صحبت می‌کردید که تعریف آن یعنی به تعدادِ توان، پایه را در خود ضرب کنید، با استفاده از تعریف (توجه کنید با استفاده از تعریف) نشان می‌دادید که $x^{a+b}=x^ax^b$ زمانی که $a$ و $b$ طبیعی هستند برقرار است. خب الآن چجوری از این گزاره در مورد حالتی که $b$ طبیعی نیست اجازهٔ استفاده دارید؟ پس ابتدا باید $x^0$ معنایش معلوم باشد و سپس چک کنید که رابطهٔ بالا برای حالتِ $b=0$ هنوز برقرار می‌ماند یا خیر و سپس از آن استفاده کنید.

پس نه تنها اشتباه تصور کردید، بلکه اتفاقا برعکسِ حرف‌تان درست است، در واقع برقراریِ گزارهٔ «$x^{a+b}=x^ax^b$ که $x\in\mathbb{Z}-\lbrace 0\rbrace$ و $a,b\in\mathbb{N}\cup\lbrace 0\rbrace$» از تعریفِ $x^0=1$ در حال استفاده کردن است.