چرا $x^0=1\ (x\in\mathbb{R}\backslash\{0\})$ تعریف می شود؟

Question

می‌دانیم که:

$$x^0=1\ (x\in\mathbb{R}\backslash\{0\})$$

چرا؟ خب این یک تعریف (Definition) است. اما دقیقاً چرا این‌گونه تعریف شده‌است؟

این پرسش در وب‌سایت Mathematics Stack Exchange که یکی از بزرگ‌ترین وب‌سایت‌های پرسش و پاسخ در دنیاست، قبلاً پرسیده شده‌است. پاسخِ برترِ این پرسش در این وب‌سایت را ببینیم:

For non-zero bases and exponents, the relation $x^a x^b = x^{a+b}$ holds. For this to make sense with an exponent of $0$, $x^0$ needs to equal one. This gives you:

$\displaystyle x^a \cdot 1 = x^a\cdot x^0 = x^{a+0} = x^a$

When the base is also zero, it's not possible to define a value for $0^0$ because there is no value that is consistent with all the necessary constraints. For example, $0^x = 0$ and $x^0 = 1$ for all positive $x$, and $0^0$ can't be consistent with both of these.

Another way to see that $0^0$ can't have a reasonable definition is to look at the graph of $f(x,y) = x^y$ which is discontinuous around $(0,0)$. No chosen value for $0^0$ will avoid this discontinuity.

این پاسخ ابتدا می‌گوید برای پایه‌ها و نماهای غیرصفر، رابطهٔ $x^a x^b = x^{a+b}$ برقرار است. که فکر می‌کنم این رابطه حداقل برای اعداد صحیح مثبت، بدیهی و شهودی است. چرا که مثلاً شما اگر یک عددِ یکسان مثلاً $x$ را ابتدا $a$بار بنویسید و بین $x$ها علامت ضرب بگذارید و سپس $b$بار بنویسید و بین $x$ها علامت ضرب بگذارید و بعد این دو را در هم ضرب کنید، مثل این است که از اول $a+b$تا $x$ نوشته‌اید و بین‌شان علامت ضرب گذاشته‌اید.

بعد ادامه می‌دهد و می‌گوید برای اینکه این رابطه برای نمای صفر هم برقرار باشد، باید $x^0$ را یک تعریف کنیم. چرا که ما می‌خواهیم $x^a\cdot x^0$ برابر با $x^{a+0}$ یا همان $x^a$ باشد. پس بدیهی است که $x^0=1$ تعریف می‌شود تا این رابطه برای نمای صفر هم برقرار بماند. بعد هم در مورد اینکه چرا نمی‌توان یک مقدار برای $0^0$ تعریف کرد، توضیح می‌دهد که فعلاً به آن کاری ندارم. پرسشِ اصلی من این است که چرا این تعریف، از بقیهٔ تعریف‌ها بهتر است؟ صرفاً چون رابطهٔ $x^a x^b = x^{a+b}$ برقرار می‌ماند و این یکی از روابط اساسی است، آن را این‌گونه تعریف می‌کنیم یا اینکه دلایل دیگری هم دارد؟

مثلاً نمی‌شد $x^0=2$ تعریف شود؟

Answer 1

چرا این تعریف، از بقیهٔ تعریف‌ها بهتر است؟ صرفاً چون رابطهٔ $x^ax^b=x^{a+b}$ برقرار می‌ماند و این یکی از روابط اساسی است، آن را این‌گونه تعریف می‌کنیم یا اینکه دلایل دیگری هم دارد؟

دلیل این امر برعکس است: چون $x^ax^b=x^{a+b}$ پس $x^0=1$.

اثبات $x^ax^b=x^{a+b}$ بدون استفاده از $x^0=1$ (با استقرا بطور مثال) قابل انجام است.

با استقرا روی $m,n$ داریم:

$x^m\cdot x^{n+1}=x^m\cdot (x^n\cdot x)=(x^m\cdot x^n)\cdot x=x^{m+n}\cdot x=x^{m+n+1} \, .$

و دیگر نیازی به نوشتن حالت $m+1$ نداریم چون $n$ و $m$ قابل جابه‌جایی اند.

اول $x^ax^b=x^{a+b}$ اثبات میشود و از آن نتیجه میشود که $x^ax^0=x^{a+0}=x^a$ در نتیجه $x^0$ باید عضو خنثی ضرب باشد.

حال چرا تنها عضو خنثی ضرب در میدان اعداد حقیقی یک است؟

برهان خلف: فرض کنید $x,1$ دو عضو متفاوت خنثی ضرب هستند. درنتیجه داریم:

$$x\cdot 1 = 1\cdot x =1 \land 1\cdot x=x\cdot 1 = x \rightarrow x=1$$

که به تناقض میرسد.