این پرسش سادهترین پرسشی است که در مورد انقباضپذیری میتوانید بپرسید. کافی است تعریف تابع همانی، تعریف تابع ثابت و تعریف هموتوپ بودنِ دو تابع پیوسته را بدانید و سپس فقط شروع به نوشتن کنید. ابتدا برویم سراغ $\mathbb{R}$، برای نمونهٔ دوم یعنی بازهٔ $[0,1]$ یا هر زیربازهٔ دلخواه دیگری از $\mathbb{R}$ همین اثبات کار میکند. یکی یکی چیزهایی که داریم را بنویسیم.
- تابع همانی روی $\mathbb{R}$ چیست؟ یعنی تابعی که هر عضوی از $\mathbb{R}$ را به خودش ببرد.
$$\left\lbrace\begin{align}
{\rm id}_\mathbb{R}\colon\mathbb{R} & \longrightarrow\mathbb{R}\\
x & \longmapsto x
\end{align}\right.$$
- تابع ثابت روی $\mathbb{R}$ چیست؟ یعنی یک عضو ثابت از $\mathbb{R}$ مانند $x_0$ هست که هر عضوی از $\mathbb{R}$ را به $x_0$ مینگارد (برای نمونههای دیگر باید این عضو ثابت را عضو همان مجموعهٔ مورد نظرش بگیرید). توجه کنید که این عضو هر عضوی میتواند باشد مثلا اینجا ۰ یا ۱ یا هر چیزی ولی پس از انتخابش ثابت میگیریمش و دیگر تغییرش نمیدهیم.
$$\left\lbrace\begin{align}
{\rm c}_{x_0}\colon\mathbb{R} & \longrightarrow\mathbb{R}\\
x & \longmapsto x_0
\end{align}\right.$$
- یک هموتوپی چیست بین دو تابع پیوستهٔ $f,g$ که دامنههای یکسان $X$ و همدامنههای یکسان $Y$ دارند چه بود؟ یک تابع پیوستهٔ دیگری بود که از $X\times [0,1]$ به $Y$ میرفت و برای هر $x\in X$ در برابریهای $F(x,0)=f(x)$ و $F(x,1)=g(x)$ صدق میکرد. در اینجا دامنه و همدامنهٔ هر دو تابعمان برابر $\mathbb{R}$ است. پس باید دنبال تابعی مانند $F\colon\mathbb{R}\times [0,1]\to\mathbb{R}$ بگردیم که پیوسته باشد و در ابتدا با تابع همانیمان و در انتها با تابع ثابتمان برابر شود. باید خیلی ساده به ذهنتان چندین ضابطه برسد، سادهترینشان ضابطهٔ زیر است.
$$F(x,t)=(1-t)(x-x_0)+x_0$$
پیوسته بودنش به خاطر اینکه چندجملهای است بدیهی است. میماند نشان دهیم که در آغاز و پایان با دو تابعمان برابر میشود. پس $x$ را یک عدد حقیقی دلخواه بردارید، آنگاه
$$\begin{align}
F(x,0) & =(1-0)(x-x_0)+x_0\\
& =x-x_0+x_0\\
& =x \\
& ={\rm id}_\mathbb{R}(x)\\
F(x,1) & =(1-1)(x-x_0)+x_0\\
& =x_0\\
& ={\rm c}_{x_0}(x)
\end{align}$$
