نشان دهید که یک فضای توپولوژیک انقباض پذیر، همبند راهی نیز است.

Question

تعریف فضای توپولوژیک انقباض‌پذیر را در پرسش زیر ¹ می‌توانید ببینید. چگونه می‌توانم ثابت کنم که یک فضای توپولوژیک انقباض‌پذیر، همبند راهی نیز است؟

---

1. https://math.irancircle.com/19164 ↩︎

Comments

@farzaneh خیلی هم عالی که اقدام به ویرایش کردید. ولی اشاره‌ای به تلاش خود نکردید. آیا تعریف همبند راهی بودن را می‌دانید؟

---

به هر تابع پیوسته ای مانند Xکه از بازه بسته ای مانند[0,1]به یک فضای متریک مانند Mتعریف شده باشد مسیر می گوییم حال  A (زیر فضا)یک همبند مسیری است اگر بین هر دونقطه آن یک  مسیر موجود باشد

---

@farzaneh پاسخی که به پرسش پیشین‌تان دادم را نگاه کنید. ببینید با کمک چیزی که از آنجا یاد می‌گیرید و تعریفی که در دیدگاه بالا نوشته‌اید می‌توانید حکم را ثابت کنید.

---

اثبات شد.خیلی ممنون

---

میشه اثبات تون رو ببینم ؟

Answer 1

فرض را بر این می‌گیریم که تعریف‌های آمده در پاسخ به پرسش پیشین‌تان را می‌دانید. به یاد آورید که برای دو نقطهٔ دلخواه از یک فضای توپولوژیک $X$ مانند $x_1$ و $x_2$، یک مسیر از $x_1$ به $x_2$ یعنی یک تابع پیوستهٔ $f\colon [0,1]\rightarrow X$ که $f(0)=x_1$ و $f(1)=x_2$. فضای $X$ همبند مسیری گفته می‌شد هر گاه برای هر دو نقطهٔ دلخواهش مسیری یافت شود. پس فرض کنیم $X$ یک فضای توپولوژی باشد که انقباض‌پذیر است و $x_1$ و $x_2$ دو نقطهٔ دلخواهش باشند. بنا به شرط انقباض‌پذیری تابع‌های ثابت با تابع همانی هموتوپ هستند، بویژه $c_{x_1}$ و $c_{x_2}$. به فرض تابع‌های هموتوپی‌ای که این دو را با $\text{id}_X$ هموتوپ کرده‌اند به ترتیب $F_1(x,t)$ و $F_2(x,t)$ باشند. تابع زیر را در نظر بگیرید.

$$G(x,t):=\left\lbrace\begin{array}{ll} F_1(x,2t) &;\;0\leq t< \frac{1}{2}\\ F_2(x,2-2t) &;\;\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{array}\right.$$

به سادگی روشن است که تابع $G$ پیوسته است (چون تک تک ضابطه‌ها پیوسته‌اند و در مرز بین دو ضابطه برابر هستند). اکنون یک نقطهٔ دلخواه از $X$ (هر چه که می‌خواهد باشد) بردارید و $x_0$ بنامید. برای هر $t\in [0,1]$ تعریف کنید $f(t):=G(x_0,t)$. روشن است که $f$ پیوسته است. بعلاوه توجه کنید که

$$\begin{array}{l} f(0)=G(x_0,0)=F_1(x_0,2(0))=F_1(x_0,0)=c_{x_1}(x_0)=x_1\\ f(1)=G(x_0,1)=F_2(x_0,2-2(1))=F_2(x_0,0)=c_{x_2}(x_0)=x_2 \end{array}$$

که یعنی یک مسیر از $x_1$ به $x_2$ یافتیم. چون $x_1$ و $x_2$ نقطه‌های دلخواهی از $X$ بودند، پس ثابت کردیم که $X$ همبند راهی (همبند مسیری) است.