به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
74 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Hamide

نشان دهید یک تو کشیدگی (retract) از یک فضای انقباض پذیر(contractible)، انقباض پذیر است.

مرجع: An introduction to algebraic topology by J. Rotman. صفحه19.تمرین 1.8قسمت (ii)

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Hamide
 
بهترین پاسخ

اگر خط زیر بخش (ب) تمرین را می‌دیدید پاسخ تمرین را خودکار گرفته‌بودید. تمرین ۹ می‌گوید «اگر $f:X\rightarrow Y$ یک پوچ‌هموتوپ باشد و $g:Y\rightarrow Z$ پیوسته، آنگاه $g\circ f$ نیز پوچ‌هموتوپ است».

بخش (ب) تمرین ۸ می‌گوید فرض کنیم $X$ یک فضای انقباض‌پذیر باشد، پس تابع همانی‌اش باید پوچ‌هموتوپ باشد یعنی $id_X:X\rightarrow X$ با تابع ثابت هموتوپ باشد پس برای $x_0\in X$ای اگر $c_{x_0}:X\rightarrow X$ تابع ثابتی باشد که هر عنصر $X$ را به $x_0$ می‌نگارد آنگاه هموتوپی‌ای مانند $F$ وجود دارد که $F(\sim,0)=id_X$ و $F(\sim,1)=c_{x_0}$. توجه کنید که برنداشته‌ایم یک تابع از خودمان تعریف کنیم چون اصلا شکل $X$ را نداریم که برایش چیزی تعریف کنیم بلکه از اینکه می‌دانیم انقباض‌پذیر است داریم نتیجه می‌گیریم که چنین $F$ای وجود دارد!

بعلاوه تمرین می‌گوید یک توکشی از آن داریم، به فرض $A$. پس با توجه به تعریف توکشی، یک تابع پیوسته از $X$ به $A$ وجود دارد که تحدیدش به $A$ همانی بر روی $A$ شود. این تابع را $f$ بنامید. اکنون به صورت تمرین ۹ نگاه کنید. اگر $Y$ را خود $X$ و $f$-ِ آن تمرین را $id_X$ و $Z$ را $A$ و $g$-ِ آن تمرین را $f$-ِ این تمرین بگیریم آنگاه نتیجه می‌شود که $f\circ id_X$ پوچ‌هموتوپ می‌شود. درست است که $f|_A=id_A$ اما توجه کنید که $f:X\rightarrow A$ پس نمی‌توانیم بگوئیم $f\circ id_X=id_A$ و کار تمام شده‌است! هموتوپی‌ای که نیاز داریم باید دامنه‌اش $A\times I$ باشد نه $X\times I$ و باید از $id_A$ شروع کند نه از $f\circ id_X=f$. پس یک گام دیگر هنوز باقی است. دامنهٔ هموتوپی‌ای که با استفاده از تمرین ۹ می‌یابیم را به $A\times I$ تحدید می‌کنیم (چون $A\subseteq X$، پس $A\times I\subseteq X\times I$ و این تحدید کردن امکان‌پذیر است). نخست توجه کنید که تحدید کردن پیوسته بودن را بهم نمی‌زند و از طرف دیگر تحدید تابع ثابت، تابع ثابت می‌ماند. پس کار تمام می‌شد و همانیِ روی $A$ پوچ‌هموتوپ می‌شود. در نتیجه $A$ نیز انقباض‌پذیر است و تمرین حل شد.

اکنون چون پاسخمان وابسته به درستیِ تمرین ۹ است، باید تمرین ۹ را نیز حل کنیم. برای اثبات تمرین ۹ باید یک هموتوپی پیدا کنیم که $g\circ f$ را به یک تابع ثابت ببرد. فرض کنید هموتوپی‌ای که $f$ را به یک تابع ثابت، مثلا $c_{x_0}:X\rightarrow X$ می‌برد، $F$ باشد. اکنون تابع $G$ را به شکل زیر تعریف کنید. $$\lbrace\begin{array}{rl}G: X\times I & \rightarrow Z\\ (x,t) & \mapsto g(F(x,t))\end{array}$$ در واقع $G=g\circ F$. چون هر دوی $F$ و $g$ پیوسته هستند (جایی که پیوستگی $g$ نیاز شده‌است)، $G$ نیز پیوسته است. از طرف دیگر: $$G(\sim,0)=g(F(\sim,0))=g(f)=g\circ f$$ $$G(\sim,1)=g(F(\sim,1))=g(c_{x_0})=c_{g(x_0)}$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Hamide
ویرایش شده توسط Hamide

فرض کنید $A$ یک توکشیدگی از $X $باشد و $X $ فضای انقباض باشد پس $1_X$ با تابع ثابتی هموتوپ است: $$f:X {\rightarrow X} $$ $$f(x)=x_0$$ کافی است تعریف کنیم$F:X×I{ \rightarrow X} $ که در آن $$F(x,0)=x$$ $$F(x,1)=f(x)=x_0$$ $F$پیوسته است. اگر $r:x { \rightarrow A} $ یک توکشیدگی از $X$ به$A$ باشدمشاهده میکنیم که هموتوپی $$roF|_A:A×I { \rightarrow A} $$ است. این تابع پیوسته است چون حاصل ترکیب دو تابع پیوسته است، وهم چنین: $$roF|_A(x,0)=r(x)=x=1_A(x)$$ $$roF|_A(x,1)=r(f(x))=r(x_0)$$ بنابراین $1_A$ با تابع ثابت $ g(x)=r(x_0) $ هموتوپ است لذا $A$ انقباض پذیر است.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Hamide شما پرسشی که در حال پرسیدنش هستید متن تمرین نیست که! شما برای آن تمرین گشته‌اید پاسخی یافته‌اید اما قسمتی از پاسخ را متوجه نشده‌اید. پس پرسشی که در حال پرسیدن هستید این است که «برای فلان پرسش، فلان پاسخ را یافته‌ام اما قسمت فلان آن را متوجه نمی‌شوم. این قسمت را توضیح دهید.» و اتفاقا این‌طور پرسش پرسیدن نیز خوب است ولی اینکه برداشته‌اید متن تمرین را در پرسش و پاسخی را که متوجه نشده‌اید را در پاسخ قرار داده‌اید اشتباه است.
دارای دیدگاه توسط Hamide
@amirhosein پاسخ را باید در قسمت پرسش مینوشتم؟
چون این امکان وجود دارد که پاسخ بهترین را انتخاب کرد این اجازه را به خودم دادم. در هر صورت نظرات و راهنمایی های شما را همیشه استقبال کرده و به خاطر میسپام. از حسن توجه شما سپاسگزارم.
دارای دیدگاه توسط Hamide
@amirhoseinاگر ابهام من را هم در این پاسخ مد نظر قرار بدین بسیار بزرگواری میفرماید.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Hamide دیدگاه من را متوجه نشدید. بعلاوه جمله‌نویسی‌تان در متن نیز اشتباه است. جمله‌های «کافی است تعریف کنیم ...» و «مشاهده می‌کنیم که...» از نظر معنایی، معنای اشتباهی می‌رسانند.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...