اگر خط زیر بخش (ب) تمرین را میدیدید پاسخ تمرین را خودکار گرفتهبودید. تمرین ۹ میگوید «اگر $f:X\rightarrow Y$ یک پوچهموتوپ باشد و $g:Y\rightarrow Z$ پیوسته، آنگاه $g\circ f$ نیز پوچهموتوپ است».
بخش (ب) تمرین ۸ میگوید فرض کنیم $X$ یک فضای انقباضپذیر باشد، پس تابع همانیاش باید پوچهموتوپ باشد یعنی $id_X:X\rightarrow X$ با تابع ثابت هموتوپ باشد پس برای $x_0\in X$ای اگر $c_{x_0}:X\rightarrow X$ تابع ثابتی باشد که هر عنصر $X$ را به $x_0$ مینگارد آنگاه هموتوپیای مانند $F$ وجود دارد که $F(\sim,0)=id_X$ و $F(\sim,1)=c_{x_0}$. توجه کنید که برنداشتهایم یک تابع از خودمان تعریف کنیم چون اصلا شکل $X$ را نداریم که برایش چیزی تعریف کنیم بلکه از اینکه میدانیم انقباضپذیر است داریم نتیجه میگیریم که چنین $F$ای وجود دارد!
بعلاوه تمرین میگوید یک توکشی از آن داریم، به فرض $A$. پس با توجه به تعریف توکشی، یک تابع پیوسته از $X$ به $A$ وجود دارد که تحدیدش به $A$ همانی بر روی $A$ شود. این تابع را $f$ بنامید. اکنون به صورت تمرین ۹ نگاه کنید. اگر $Y$ را خود $X$ و $f$-ِ آن تمرین را $id_X$ و $Z$ را $A$ و $g$-ِ آن تمرین را $f$-ِ این تمرین بگیریم آنگاه نتیجه میشود که $f\circ id_X$ پوچهموتوپ میشود. درست است که $f|_A=id_A$ اما توجه کنید که $f:X\rightarrow A$ پس نمیتوانیم بگوئیم $f\circ id_X=id_A$ و کار تمام شدهاست! هموتوپیای که نیاز داریم باید دامنهاش $A\times I$ باشد نه $X\times I$ و باید از $id_A$ شروع کند نه از $f\circ id_X=f$. پس یک گام دیگر هنوز باقی است. دامنهٔ هموتوپیای که با استفاده از تمرین ۹ مییابیم را به $A\times I$ تحدید میکنیم (چون $A\subseteq X$، پس $A\times I\subseteq X\times I$ و این تحدید کردن امکانپذیر است). نخست توجه کنید که تحدید کردن پیوسته بودن را بهم نمیزند و از طرف دیگر تحدید تابع ثابت، تابع ثابت میماند. پس کار تمام میشد و همانیِ روی $A$ پوچهموتوپ میشود. در نتیجه $A$ نیز انقباضپذیر است و تمرین حل شد.
اکنون چون پاسخمان وابسته به درستیِ تمرین ۹ است، باید تمرین ۹ را نیز حل کنیم. برای اثبات تمرین ۹ باید یک هموتوپی پیدا کنیم که $g\circ f$ را به یک تابع ثابت ببرد. فرض کنید هموتوپیای که $f$ را به یک تابع ثابت، مثلا $c_{x_0}:X\rightarrow X$ میبرد، $F$ باشد. اکنون تابع $G$ را به شکل زیر تعریف کنید.
$$\lbrace\begin{array}{rl}G: X\times I & \rightarrow Z\\
(x,t) & \mapsto g(F(x,t))\end{array}$$
در واقع $G=g\circ F$. چون هر دوی $F$ و $g$ پیوسته هستند (جایی که پیوستگی $g$ نیاز شدهاست)، $G$ نیز پیوسته است. از طرف دیگر:
$$G(\sim,0)=g(F(\sim,0))=g(f)=g\circ f$$
$$G(\sim,1)=g(F(\sim,1))=g(c_{x_0})=c_{g(x_0)}$$
