تعریف همبند مسیری موضعی را یادآوری میکنیم (معمولا در به یاد آوردن این تعریف دچار اشتباه میشویم). فضای
$X$
یک فضای همبند مسیری موضعی است هر گاه برای هر
$x\in X$
و هر بازِ شامل آن مانند
$U$
، یک باز همبند مسیری ما بین آنها باشد یعنی مجموعهٔ باز و همبند مسیریای مانند
$V$
بتوان یافت که
$x\in V\subseteq U$
.
مخروط روی یک فضای دلخواه بدون هیچ شرطی بنا به قضیهٔ ۱.۱۱ کتاب، انقباضپذیر میشود. از طرف دیگر مخروط روی یک فضای ناهمبندمسیری موضعی بنا به اثبات زیر ناهمبند مسیری موضعی میماند! بنابراین مخروط روی هر فضای دلخواهی که همبند مسیری موضعی نباشد یک پاسخ برای تمرین هست. بنابراین به جای واژهٔ «مناسب» در «مخروط روی یک فضای مناسب» در راهنمایی کتاب، «ناهمبندمسیری موضعی» میتوان گذاشت.
لم: اگر
$X$
همبند مسیری موضعی باشد و
$\phi:X\rightarrow Y$
پیوسته و پوشا، آنگاه
$Y$
نیز همبند مسیری موضعی میشود.
اثبات ساده است. برای هر دو نقطه از
$Y$
میتوان دو نقطه از
$X$
برداشت که بوسیلهٔ
$\phi$
به دو نقطهٔ نخست برگردانده شوند (به خاطر پوشایی). اکنون یک مسیر بین دو نقطهٔ دوم بردارید، این مسیر چیزی نیست جز یک تابع پیوسته از بازهٔ یک و صفر به
$X$
که در صفر و یک دو نقطهٔ دوم را دادهاست. ترکیب دو تابع پیوسته، پیوسته میماند. پس با ترکیب مسیر بین دو نقطهٔ دوم و تابع پیوستهٔ بین دو فضا، یک مسیر بین دو نقطهٔ نخست داریم. چون دو نقطه دلخواه بودند، پس فضای
$Y$
نیز همبند مسیری شد.
اکنون توجه کنید تابع تصویر، یک تابع پیوستهٔ پوشای باز است. یک فضای
$X$
دلخواه بردارید. مخروط روی آن برابر با خارج قسمت
$X\times [0,1]$
بر
$X\times\lbrace 1\rbrace$
است. تابع تصویر از این مخروط بر
$X\times\lbrace 0\rbrace$
را در نظر بگیرید (که یکریخت با خود
$X$
است). فرض کنید
$X$
ناهمبند مسیری موضعی باشد. پس یک نقطهٔ
$x$
و یک باز شامل آن مانند
$U$
وجود دارند که هیچ مجموعهٔ باز همبند مسیری مابین آن دو نباشد.
اکنون به فرض خلف، فرض کنید مخروط روی آن همبند مسیری موضعی باشد. مجموعهٔ
$U\times [0,\frac{1}{2})$
یک باز شامل
$(x,0)$
در این مخروط است. پس باید مجموعهٔ بازی مانند
$V$
ما بین این دو در مخروط باشد که همبند مسیری باشد. بنا به لم، تصویر این مجموعه یک همبند مسیری در
$X\times\lbrace 0\rbrace$
میشود.
$(x,0)$
را در بردارد و درون
$U\times\lbrace 0\rbrace$
جای میگیرد. بعلاوه چون نگاشت تصویر یک نگاشت باز است، باز را به باز تصویر میکند (پیوستهها تصویر وارون باز با آنها باز میشد و بازها تصویر باز با آنها باز میشود) پس یک باز همبند بین
$(x,0)$
و
$U\times\lbrace 0\rbrace$
یافتیم. تحت همریختی بدیهیِ
$X$
و
$X\times \lbrace 0\rbrace$
، این یک باز همبند مسیری بین
$x$
و
$U$
است که تناقض است.
پس از آنجا فرض خلف باطل و این مخروط نمیتواند همبند مسیری موضعی باشد
