در متن تمرین ۱.۱۵ کتاب دلیل اینکه به نوشتن «فضای $X$» تنها اکتفا شدهاست این است که در پاراگراف بالایش یعنی نمونهٔ ۱.۸ این فضا در همین صفحه معرفی شدهاست پس خواننده میداند فضای $X$ چه فضایی است! اما زمانی که در اینجا پرسش را مطرح میکنید بالای پرسش شما $X$ تعریف نشدهاست، پس باید تعریف آن را در پرسشتان بیاورید.
فضای $X$ به این شکل تعریف شدهاست:
$$X=A\cup G$$
که در آن
$$A=\lbrace (0,y)|-1\leq y\leq 1\rbrace$$
و
$$G=\lbrace (x,\sin(\frac{1}{x}))|0\lneq x\leq\frac{1}{2\pi}\rbrace$$
و $X$ با توپولوژی زیرفضایی از توپولوژی معمولی $\mathbb{R}^2$ مجهز شدهاست.
اکنون برویم به سراغ خود پرسش. من پیشتر در زیر شکل پیشین پرسشتان که حذف شدهبود دیدگاهی گذاشتهبودم که آيای راهنمایی خود کتاب که داخل پرانتز روبروی پرسش نوشتهشدهاست را خواندهاید؟ اگر نه که بخوانید و اگر بلی در کجای راهنمایی به مشکل برخوردهاید؟ کتاب این پرسش را ستارهدار گذاشتهاست پس به نظر نویسندهٔ کتاب سطح پرسش دشوارتر از سایر پرسشهای کتاب است. بنابراین اینکه نتوانید آن را در نگاه نخست حل کنید چیز بدی نیست ولی اینکه رویش شروع به فکر نکنید و راهنماییاش را پیگیری نکنید چیز دیگری است.
راهنمایی پرسش میگوید فرض کنید $f:I\rightarrow X$ یک مسیر از $(0,0)$ به $(\frac{1}{2\pi},0)$ به یاد آورید که در کتاب $I$ برای بازهٔ بستهٔ $[0,1]$ استفاده میشود. توجه کنید که نقطهٔ $(0,0)$ عضو $A$ پس در $X$ است و نقطهٔ $(\frac{1}{2\pi},0)$ عضو $G$ پس در $X$ است. اگر به فرض خلف، فرض کردهباشید $X$ همبند مسیری است پس باید بین هر دو نقطهاش یک مسیر باشد. یک مسیر از یک نقطه به یک نقطهٔ دیگر، یک تابع پیوسته از بازهٔ $[0,1]$ به فضایمان است که صفر را به نقطهٔ شروع و یک را به نقطهٔ پایانی مینگارد. پس میتوان چنین $f$ ای که راهنمایی گفته است از فرض خلفمان داشتهباشیم.
اکنون میگوید نماد $t_0$ را اینگونه تعریف کنید:
$$t_0=\sup\lbrace t\in I|f(t)\in A\rbrace$$
پس $t_0$ یک عدد حقیق در بازهٔ صفر و یک خواهد بود. ادعای راهنمایی این است که $f(t_0)$ عضو $A$ خواهد شد و برای هر عدد بزرگتر از آن مانند $t$ خواهیم داشت $f(t)\not\in G$. بخش دوم ادعا از تعریف سوپریمم روشن است زیرا سوپریمم یعنی کوچکترین کران بالا، اگر عددی بزرگتر از $t_0$ دارای تصویر داخل $A$ تحت $f$ باشد آنگاه $t_0$ یک کران بالا نخواهد بود چه برسد به کوچکترین کران بالا برای عددهای بین صفر و یکی که تصویرشان تحت $f$ در $A$ قرار میگیرند. اما چرا تصویر خود $t_0$ تحت $f$ در $A$ قرار میگیرد؟ توجه کنید که $A$ یک مجموعهٔ بسته در $\mathbb{R}^2$ و در نتیجه در $X$ است و $f$ یک تابع پیوسته پس تصویر وارون آن زیرمجموعهای بسته از $I$ میشود. از طرفی این سوپریمم نقطهٔ حدیای از تصویر وارون $f^{-1}(A)$ است (اینجا کوچکترین بودن در تعریف سوپریمم استفاده میشود) پس باید درون خود این مجموعه قرار بگیرد.
اکنون راهنمایی میگوید پس میتوان فرض کرد که یک مسیر مانند $g:I\rightarrow X$ که تنها نقطهٔ شروعش در $A$ باشد یافت. چرا؟ چون از مسیر $f$ کافیست تمام قسمت پیش از $t_0$ را دور بیندازیم و سپس یک نگاشت خطی که $[0,1]$ را به $[t_0,1]$ ببرد از راست با این قسمت باقیماندهٔ $f$ ترکیب کنیم. در اینصورت یک مسیر با شرایط خواسته شده برای $g$ داریم. در واقع در قسمت نخست راهنمایی نیاز نبود ابتدای مسیر $f$ را حتما $(0,0)$ برداریم یا انتهایش را فلان! تنها کافی بود با یک مسیر که شروعش در $A$ و پایانش در $G$ است شروع کنیم سپس یک مسیر که تنها شروع در $A$ باشد و مابقی آن در $G$ از آن به همین روش بسازیم.
راهنمایی اینجا تمام میشد. چرا؟ چون همه چیز به جز یک نتیجهگیری کوچک را دارید. وجود چنین مسیری یک تناقض است! مگر مسیر $g$ به معنای تابع پیوسته نیست؟ برد آن $X$ یعنی تصویر آن مجموعهای از زوجهای مرتب است. تابع تصویر به مؤلفهٔ دوم نیز یک تابع پیوسته است. اگر این دو را ترکیب کنید یعنی هر عدد بین صفر و یک را به مؤلفهٔ دومِ $(g(t)$ بنگارید یک تابع پیوسته دارید. تابع نگاشت به مؤلفهٔ دوم را با $\pi_2$ نمایش دهید. حاصل عبارت زیر چیست؟
$$\lim_{t\rightarrow 0^+}\pi_2(g(t))$$
این مقدار برابر با حد زیر است
$$\lim_{x\rightarrow 0^+}\sin(\frac{1}{x})$$
وجود مسیر $g$ یعنی حد دوم به یک عدد ثابت میل میکند که تناقض است زیرا میدانیم حد دوم موجود نیست. پس فرض خلف نخستینمان باطل و از آنجا حکم پرسش یعنی همبندمسیرینبودن فضای $X$ نتیجه میشود.
