هم‌ارز بودن همبندی و همبندی‌مسیری برای زیرمجموعه‌های باز $\mathbb{R}^n$

Question

اگر $U$ زیرمجموعهٔ بازی از $\mathbb{R}^n$ باشد، آنگاه $U$ همبند است اگر و تنها اگر $U$ همبند مسیری باشد.

Comments

@amirhosein همبند بودن همبند مسیری طبق قضیه ای برقرار است. برعکس اگر همبند باشد باید ثابت کنیم در این فضا مسیری است. تعریف همبند مسیری مشخص است مسیر همواره یک تابع پیوسته نیاز دارد
این تابع پیوسته را چه در نظر بگیریم؟

---

@Hamide توجه کرده‌اید که چرا پرسش شرط «مجموعهٔ باز از $\mathbb{R}^n$» را گذاشته است؟ چرا مثلا باز در یک فضای دلخواه نه؟ تمام نکته در پاسخ همین پرسش است.

---

@amirhosein قطعا در فضای دلخواه همبند مسیری بودن همبندی برقرار نیست اما متوجه نمیشم در این فضا چرا؟

---

@Hamide نه پاسخ پرسش من چیزی که گفتید نیست. بگذارید به این شکل بپرسم؛ یک باز در $\mathbb{R}^n$ به چه شکل است؟

---

@amirhosein به صورت گوی باز.
اگر فضای اقلیدسی بنامیم.
$\mathbb{R}^n$ حاصلضرب دکارتی n نسخه از $R$ است.
وچون در گوی باز هر دونقطه قطعا توسط مسیری در فضا بهم وصل میشوند؟!

Answer 1

متأسفانه مدرسین دروس پایه خیلی بحث تمارین را شُل می‌گیرند و دانشجویان نیز تا ازشان خواسته نشود به سراغ تمرین‌ها نمی‌روند. در درس آنالیز ریاضی یک باید دانشجو به مفاهیمش کاملا مسلط شود و گرنه استادی که بدون داشتن تسلط دانشجویانش به دروس بالاتر فرستاده شوند اشکالی در کارش هست. کمترین حد قابل قبول برای اینکه فردی بتواند بگوید آنالیز ریاضی یک را فرا گرفته‌است دانستن ۴ فصل نخست کتاب اصول آنالیز ریاضی رودین که آقای علی‌اکبر عالم‌زاده آن را نیز ترجمه کرده است، به همراه تمام تمارین این چهار فصل می‌باشد. به ویژه تمارین فصل دو که معمولا در آزمون‌های کنکورهای ورودی ارشد و دکترا حضور داشته‌است. در تمرین ۲۹ فصل دوی این کتاب (ویرایش سوم نسخهٔ زبان اصل) داشتید که «هر مجموعهٔ باز در $\mathbb{R}^1$ را می‌توان به شکل اجتماعی از حداکثر شمارش‌پذیری از بازه‌های دو به دو مجزا از هم نوشت». یعنی چه؟ یعنی یک باز در $\mathbb{R}^1$ اجتماعی از بازه‌های باز به شکل $(a,b)$ است که $a$ و $b$ می‌توانند مساوی باشند (که تهی را می‌دهد) و اینکه می‌توانند بینهایت هم باشند (اگر یکی مثبت بینهایت و دیگری منفی بینهایت باشد آنگاه کل اعداد حقیقی می‌شود) که دو به دو این بازه‌ها هیچ اشتراکی ندارند. اکنون تهی‌ها را بیندازید دور و فرض کنید که بازتان تهی نیست. اگر یک بازه بود که همبند مسیری بودنش از «همبند مسیری بودن مجموعه‌های محدب» بدیهی است. اگر بیشتر از دو بازه بود آنگاه توجه کنید که هیچ اشتراکی ندارند! یکی را $A$ بنامید و اجتماع مابقی را $B$ بنامید. پس دو زیرمجموعهٔ باز ناتهی مجزا از بازتان دارید که اجتماعشان می‌شود کل آن باز، اگر یادتان باشد ناهمبند بودن چنیدن تعریف هم‌ارز داشت یکی‌شان وجود دو زیرمجموعهٔ باز ناتهی بود که اجتماعشان کل مجموعه شود. پس اگر بازی که برداشته‌اید یک بازه نباشد آنگاه ناهمبند است. پس همبند بودن و همبند مسیری بودن برای بازهای $\mathbb{R}$ هر دو هم‌ارز با بازه بودنشان می‌شود. اگر در درس آنالیز ریاضی یک تمرین ۲۹ را حل کرده‌باشید می‌دانید که برای $\mathbb{R}^n$ نیز می‌توانید تعمیمش دهید. همان‌گونه که در راهنمایی کتاب نیز آمده‌است نکتهٔ اصلی حل از تمرین ۲۲ یعنی جدائی‌پذیر بودن فضای متریک‌تان استفاده می‌کند.

Comments

@amirhosein ضمن سپاس. در مورد نقدی که فرمودید دقیقاً به همین صورت است. چند صفحه ای جزوه و اثبات قضیه را حفظ میکنیم و امتحان می‌دیم.
به وضوح بسیاری از مفاهیم پس از امتحان پایانی فراموش میشوند.