به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
135 بازدید
در دانشگاه توسط Hamide
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

اگر $X\simeq Y$ و $X$ انقباض‌پذیر contractible باشد، آنگاه $Y$ هم انقباض‌پذیر است. در اینجا $\simeq$ به معنای وابرریخت است.

مرجع: An Introduction to Algebraic Topology نوشتهٔ Rotman صفحه 19
توسط AmirHosein
@Hamide اصطلاح retraction را انقباض ترجمه نمی‌کنند، retraction توکشیدگی و retract توکشیدن ترجمه می‌شود. حتی در زبان عربی نیز آن را ‌إنکماش می‌گویند نه انقباض. traction به معنای نیروی کششی و کشش معنی می‌دهد و re+traction می‌خواهد چیزی شبیه به دوباره+کشیدن برساند که به داخل کشیدن، به تو کشیدن می‌شود، تا آنجا که من در جریان بودم واژهٔ توکشی را برایش تأیید کرده‌بودند. انبساط و انقباض متفاوت هستند، وقتی می‌گوئید انقباض یعنی کاهش حجم که می‌تواند به هر علتی باشد نه فقط به علت نیروی کششی. از نظر ریاضی نیز نگاشت توکشی و نگاشت انقباضی تعریف‌های متفاوتی دارند.
توسط Hamide
@amirhosein ممنون از اطلاعاتی که در اختیارم قرار دادین. ما این واژه را انقباض وتابع انقباض ترجمه کردیم!!!
و هومئو مورف را همسان ریخت.
توسط AmirHosein
+1
@Hamide خب استادتان اشتباه آن را انقباض ترجمه کرده‌است. compact، contract و  retract هر سه هم از نظر واژه‌نامه‌ای و هم از نظر توپولوژی سه واژهٔ متفاوت هستند.
توسط Hamide
@amirhosein با سلام و عرض ادب حضورتون.
عذر خواهی میکنم آقای دکتر میشه راهنمایی بفرمایید چرا در  F(∼,0)=idX و F(∼,1)=cx0 رابطه هم ارزی را قرار دادین؟؟
توسط AmirHosein
+1
@Hamide علامت $\sim$ در $F(\sim,0)$ نشانهٔ هم‌ارزی نیست. اگر می‌نوشتم $F(x,0)$ آنگاه در مقابلش نیز می‌بایست می‌نوشتم $id_X(x)$، اگر $x$ را نگذارم باید بنویسم $F(\sim,0)=id_X$ یا برخی می‌نویسند $F(-,0)=id_X$. در این نوشتار تأکید بر تابع است در حالیکه در نوشتارِ $F(x,0)=id_X(x)$ تأکید بر اثر تابع در یک نقطه‌است.

این دیدگاه را می‌بایست زیر پاسخ می‌نوشتید نه زیر پرسش، زیرا در متن پاسخ برایتان پرسش شده‌است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Hamide
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $X$ و $Y$ دو فضای توپولوژیک وابرریخت باشند. این یعنی یک وابرریختی بین این این دو وجود دارد. اگر این وابرریختی که یک تابع است را با $f:X\rightarrow Y$ نمایش دهیم آنگاه وابرریختی بودنش یعنی $f$ پیوسته است و دارای یک وارون دوطرفه $f^{-1}$ است که آن نیز پیوسته است. توجه کنید که $f^{-1}:Y\rightarrow X$ و $f\circ f^{-1}=id_X$ و $f^{-1}\circ f=id_Y$.

اکنون از انقباض‌پذیریِ $X$ (contractible با compactable فرق دارد! یکُمی به معنای انقباض‌پذیر و دومی به معنای فشرده‌‌پذیری است که دو مفهوم متفاوت توپولوژیکی هستند) نتیجه می‌شود که تابع همانیِ روی $X$ با تابع ثابت هموتوپ است. پس اگر $x_0$ یک نقطهٔ دلخواه ثابت از $X$ باشد و تعریف کنیم $c_{x_0}:X\rightarrow X$ تابعی باشد که هر عضو از $X$ را به $x_0$ می‌نگارد، آنگاه $id_X\simeq c_{x_0}$. این یعنی یک هموتوپی بین این دو تابع وجود دارد. اگر این هموتوپی را $F$ بنامیم آنگاه $F:X\times [0,1]\rightarrow X$ پیوسته است و $F(\sim,0)=id_X$ و $F(\sim,1)=c_{x_0}$.

اینکه چرا $Y$ خودبه‌خود نیز انقباض‌پذیر می‌شود به این دلیل است که به کمک $f$ و $F$ به راحتی می‌توانی یک هموتوپی برای انقباض‌پذیر کردنش ساخت.

$y_0$ را یک عضو دلخواه از $Y$ بردارید. چون $f$ پوشا بود (از وارون دو طرفه داشتنش یک‌به‌یکی و پوشا بودنش نتیجه می‌شود)، $x_0$ای از $X$ می‌توان یافت که $y_0=f(x_0)$. اکنون تابع ثابت $c_{y_0}:Y\rightarrow Y$ را به روش مشابه تابع ثابت پیشین تعریف کنید یعنی هر عنصر از $Y$ را به $y_0$ بنگارد. تابع همانی بوسیلهٔ تابع زیر با تابع $c_{y_0}$ هموتوپ می‌شود. $$\left\lbrace\begin{array}{rl} G:Y\times [0,1] & \rightarrow Y\\ G(y,t):= & f(F(f^{-1}(y),t))\end{array}\right.$$ پیوسته بودن آن از اینکه $f$ و وارونش $f^{-1}$ و $F$ پیوسته هستند و ترکیب تابع‌های پیوسته، پیوسته می‌شود نتیجه می‌شود. اکنون باید $t$ را یک بار صفر و یک بار یک قرار بدهیم و ببینیم آیا تابع همانیِ روی $Y$ و تابع ثابت مورد نظرمان را می‌دهد یا خیر. $$G(y,0)=f(F(f^{-1}(y),0))=f(id_X(f^{-1}(y)))=f(f^{-1}(y))=y=id_Y(y)$$ $$G(y,1)=f(F(f^{-1}(y),1))=f(c_{f^{-1}(y_0)}(f^{-1}(y_0))=f(f^{-1}(y_0))=y_0=c_{y_0}(y)$$ توجه کنید که چون $x_0$ مساوی $f^{-1}(y_0)$ بود در بالا به جای $x_0$ همان $f^{-1}(y_0)$ را نوشتیم و پیش رفتیم.

توسط Hamide
با حالت دوم برخورد داشتم. به همین علت تصور کردم علامت کذایی علامت هم ارزی است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...