به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
57 بازدید
در دانشگاه توسط farzaneh (7 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

تعریف فضای توپولوژیک انقباض‌پذیر را در پرسش زیر 1 می‌توانید ببینید. چگونه می‌توانم ثابت کنم که یک فضای توپولوژیک انقباض‌پذیر، همبند راهی نیز است؟

توسط AmirHosein (11,162 امتیاز)
@farzaneh خیلی هم عالی که اقدام به ویرایش کردید. ولی اشاره‌ای به تلاش خود نکردید. آیا تعریف همبند راهی بودن را می‌دانید؟
توسط farzaneh (7 امتیاز)
به هر تابع پیوسته ای مانند Xکه از بازه بسته ای مانند[0,1]به یک فضای متریک مانند Mتعریف شده باشد مسیر می گوییم حال  A (زیر فضا)یک همبند مسیری است اگر بین هر دونقطه آن یک  مسیر موجود باشد
توسط AmirHosein (11,162 امتیاز)
@farzaneh پاسخی که به پرسش پیشین‌تان دادم را نگاه کنید. ببینید با کمک چیزی که از آنجا یاد می‌گیرید و تعریفی که در دیدگاه بالا نوشته‌اید می‌توانید حکم را ثابت کنید.
توسط farzaneh (7 امتیاز)
اثبات شد.خیلی ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (11,162 امتیاز)

فرض را بر این می‌گیریم که تعریف‌های آمده در پاسخ به پرسش پیشین‌تان را می‌دانید. به یاد آورید که برای دو نقطهٔ دلخواه از یک فضای توپولوژیک $X$ مانند $x_1$ و $x_2$، یک مسیر از $x_1$ به $x_2$ یعنی یک تابع پیوستهٔ $f\colon [0,1]\rightarrow X$ که $f(0)=x_1$ و $f(1)=x_2$. فضای $X$ همبند مسیری گفته می‌شد هر گاه برای هر دو نقطهٔ دلخواهش مسیری یافت شود. پس فرض کنیم $X$ یک فضای توپولوژی باشد که انقباض‌پذیر است و $x_1$ و $x_2$ دو نقطهٔ دلخواهش باشند. بنا به شرط انقباض‌پذیری تابع‌های ثابت با تابع همانی هموتوپ هستند، بویژه $c_{x_1}$ و $c_{x_2}$. به فرض تابع‌های هموتوپی‌ای که این دو را با $\text{id}_X$ هموتوپ کرده‌اند به ترتیب $F_1(x,t)$ و $F_2(x,t)$ باشند. تابع زیر را در نظر بگیرید.

$$G(x,t):=\left\lbrace\begin{array}{ll} F_1(x,2t) &;\;0\leq t< \frac{1}{2}\\ F_2(x,2-2t) &;\;\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{array}\right.$$

به سادگی روشن است که تابع $G$ پیوسته است (چون تک تک ضابطه‌ها پیوسته‌اند و در مرز بین دو ضابطه برابر هستند). اکنون یک نقطهٔ دلخواه از $X$ (هر چه که می‌خواهد باشد) بردارید و $x_0$ بنامید. برای هر $t\in [0,1]$ تعریف کنید $f(t):=G(x_0,t)$. روشن است که $f$ پیوسته است. بعلاوه توجه کنید که

$$\begin{array}{l} f(0)=G(x_0,0)=F_1(x_0,2(0))=F_1(x_0,0)=c_{x_1}(x_0)=x_1\\ f(1)=G(x_0,1)=F_2(x_0,2-2(1))=F_2(x_0,0)=c_{x_2}(x_0)=x_2 \end{array}$$

که یعنی یک مسیر از $x_1$ به $x_2$ یافتیم. چون $x_1$ و $x_2$ نقطه‌های دلخواهی از $X$ بودند، پس ثابت کردیم که $X$ همبند راهی (همبند مسیری) است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...