با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید سایت محفل ریاضی ایرانیان
معادلۀ درجۀ سوم زیر را در نظر بگیرید:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$
که $a$، $b$، $c$ و $d$ اعداد ثابت و حقیقیای میباشند و در واقع ضرایب معادله هستند.
طرفین معادله را بر ضریب $x^3$ (یعنی $a$) تقسیم میکنیم:
$$x^3+ \frac{b}{a}x^2+ \frac{c}{a}x+ \frac{d}{a}=0$$
از طرف چپ معادله، نسبت به $x$، مشتق میگیریم:
$$\frac{d}{dx}\big(x^3+ \frac{b}{a}x^2+ \frac{c}{a}x+ \frac{d}{a}\big)=3x^2+2x\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$$
پس از مشتقگیری از سمت چپ، به $3x^2+2x\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$ میرسیم. دوباره مشتق میگیریم:
$$ \frac{d}{dx}\big(3x^2+2x\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\big)=6x+2 \frac{b}{a}$$
پس از دوبار مشتق گرفتن، در نهایت بهاین معادله رسیدیم:
$$6x+2 \frac{b}{a}=0$$
این معادله را برحسب $x$ حل میکنیم:
$$6x+2 \frac{b}{a}=0\Longrightarrow x=-\frac{b}{3a}$$
به $x=-\frac{b}{3a}$ رسیدیم. خب، حالا در همان معادلۀ درجۀ سومی که در ابتدا داشتیم ($x^3+ \frac{b}{a}x^2+ \frac{c}{a}x+ \frac{d}{a}=0$)، بهجای $x$، $x- \frac{b}{3a} $ را قرار میدهیم.
$$(x- \frac{b}{3a})^3+ \frac{b}{a}(x- \frac{b}{3a})^2+ \frac{c}{a}(x- \frac{b}{3a})+ \frac{d}{a}=0$$
و پس از سادهسازی:
$$x^3+( \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} )x+( \frac{2b^3}{27a^3}- \frac{bc}{3a^2}+ \frac{d}{a} )=0$$
همانطور که دیدید، $x^2$ تبدیل به صفر و در واقع کلاً از معادله حذف شد و بدین ترتیب معادله کوتاه شد و میتوانیم آن را بهاین فرم بنویسیم:
$$x^3+px+q=0$$
که $p= \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} $ و $q= \frac{2b^3}{27a^3}- \frac{bc}{3a^2}+ \frac{d}{a} $.
پس از دوبار مشتق گرفتن از سمت چپ معادله و بعد حل معادلۀ بهدست آمده و انجام تغییر متغیر (با استفاده از جواب معادلهای که پس از دوبار مشتقگیری بهدست آمد) در معادلۀ اصلی، چرا $x^2$ کلاً حذف شد؟
در واقع در حالت کلی، انجام این مراحل برای یک معادله از درجۀ $n$ و $n-1$ بار مشتق گیری از طرف چپ معادله، $x^{n-1}$ کلاً از معادله حذف میشود. علتش چیست؟
