به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
78 بازدید
در دانشگاه توسط A-math-lover (664 امتیاز)

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید سایت محفل ریاضی ایرانیان

معادلۀ درجۀ سوم زیر را در نظر بگیرید:

$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$

که $a$، $b$، $c$ و $d$ اعداد ثابت و حقیقی‌ای می‌باشند و در واقع ضرایب معادله هستند.

طرفین معادله را بر ضریب $x^3$ (یعنی $a$) تقسیم می‌کنیم:

$$x^3+ \frac{b}{a}x^2+ \frac{c}{a}x+ \frac{d}{a}=0$$

از طرف چپ معادله، نسبت به $x$، مشتق می‌گیریم:

$$\frac{d}{dx}\big(x^3+ \frac{b}{a}x^2+ \frac{c}{a}x+ \frac{d}{a}\big)=3x^2+2x\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$$

پس از مشتق‌گیری از سمت چپ، به $3x^2+2x\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$ می‌رسیم. دوباره مشتق می‌گیریم:

$$ \frac{d}{dx}\big(3x^2+2x\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\big)=6x+2 \frac{b}{a}$$

پس از دوبار مشتق گرفتن، در نهایت به‌این معادله رسیدیم:

$$6x+2 \frac{b}{a}=0$$

این معادله را برحسب $x$ حل می‌کنیم:

$$6x+2 \frac{b}{a}=0\Longrightarrow x=-\frac{b}{3a}$$

به $x=-\frac{b}{3a}$ رسیدیم. خب، حالا در همان معادلۀ درجۀ سومی که در ابتدا داشتیم ($x^3+ \frac{b}{a}x^2+ \frac{c}{a}x+ \frac{d}{a}=0$)، به‌جای $x$، $x- \frac{b}{3a} $ را قرار می‌دهیم.

$$(x- \frac{b}{3a})^3+ \frac{b}{a}(x- \frac{b}{3a})^2+ \frac{c}{a}(x- \frac{b}{3a})+ \frac{d}{a}=0$$

و پس از ساده‌سازی:

$$x^3+( \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} )x+( \frac{2b^3}{27a^3}- \frac{bc}{3a^2}+ \frac{d}{a} )=0$$

همانطور که دیدید، $x^2$ تبدیل به صفر و در واقع کلاً از معادله حذف شد و بدین ترتیب معادله کوتاه شد و می‌توانیم آن را به‌این فرم بنویسیم:

$$x^3+px+q=0$$

که $p= \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} $ و $q= \frac{2b^3}{27a^3}- \frac{bc}{3a^2}+ \frac{d}{a} $.

پس از دوبار مشتق گرفتن از سمت چپ معادله و بعد حل معادلۀ به‌دست آمده و انجام تغییر متغیر (با استفاده از جواب معادله‌ای که پس از دوبار مشتق‌گیری به‎‌دست آمد) در معادلۀ اصلی، چرا $x^2$ کلاً حذف شد؟

در واقع در حالت کلی، انجام این مراحل برای یک معادله از درجۀ $n$ و $n-1$ بار مشتق گیری از طرف چپ معادله، $x^{n-1}$ کلاً از معادله حذف می‌شود. علتش چیست؟

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط good4us (7,001 امتیاز)
انتخاب شده توسط A-math-lover
 
بهترین پاسخ

در بسط$ (x- \frac{b}{3a}) ^{3} $ جمله $- \frac{b}{a} x^{2} $ و در بسط $ \frac{b}{a} (x-\frac{b}{3a})^{2} $ جمله $\frac{b}{a} x^{2} $ خواهد بود که قرینه یکدیگرند و حذف خواهند شد


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...