چرا گزینۀ `explicit` در نرم افزار Maple نمی تواند برابری $x+x^a=b$ را حل کند؟

Question

به نام خدا

برابری زیر را در نظر بگیرید:

$$x+x^a=b$$

وقتی می‌خواهم این برابری را در نرم‌افزار Maple برحسب $x$ با دستور solve حل کنم، نرم‌افزار بجای این‌که پاسخ برابری را نمایش‌دهد، خروجی RootOf را نمایش می‌دهد:

اما با توجه به‌پاسخ یکی از اساتید سایت در اینجا، هرگاه در نرم‌افزار Maple با خروجی RootOf مواجه‌شدیم، باید از گزینۀ explicit استفاده‌کنیم، که من هم همین کار را انجام دادم اما باز هم نرم‌افزار خروجی RootOf را نمایش می‌دهد:

مشکل از کجاست؟

Answer 1

شما یک برابریِ پارامتری دارید، یک ضریب‌ثابت متغیر و یک توان متغیر! و اطلاعات خاصی هم پیرامون مقدار $a$ و $b$ در دستوری که به میپل داده‌اید نافزوده‌اید. در نتیجه به صورت پیش‌فرض $a$ و $b$ هر عدد حقیقی یا مختلطی می‌توانند باشند و نه فقط یک عدد طبیعی! به نظر خودتان آیا پاسخ‌ یا پاسخ‌های چنین برابری‌ای دارای یک فرمول سر راست هستند؟ حتی اگر پاسخ بلی باشد، باید بپرسید که آیا این پاسخ یا پاسخ‌ها به روشی الگوریتمی بدست آمده‌اند یا با یک روش که فقط مختص به این پرسش است و کلی نیست؟ بیایید اول به جای توان دلخواه، به توان‌های حسابی (صفر و طبیعی) محدود شویم و به جای پارامتر در نظر گرفتن آن را عددی ثابت بگیریم. در این صورت تازه عبارت ما در تعریف چندجمله‌ای صدق می‌کند (چندجمله‌ای دارای توان‌های ثابت و حسابی است). مثلا قرار دهید $a=4$. یک بار بدون گزینهٔ سفارشیِ explicit و یک بار با آن.

solve(x+x^4=b,x);
solve(x+x^4=b,x,explixit);

نتیجهٔ یکُمی به شکل یک عدد جبری داده‌شده‌است (ریشهٔ فلان چندجمله‌ای)، ولی نتیجهٔ دومی به شکل فرمولی رادیکال‌دار که خیلی هم دراز است و چند خط می‌گیرد. اکنون همان دو خط را برای $a=5$ اجرا کنید.

solve(x+x^5=b,x);
solve(x+x^5=b,x,explixit);

این بار، نتیجهٔ هر دو یکسان و به شکل عدد جبری است. چرا؟ چون فرمول کلی برای ریشهٔ چندجمله‌ای درجهٔ پنج نداریم پس explicit بی‌فایده‌است. ولی اگر به جای بعلاوه منها بگذارید و به جای $b$ صفر، آنگاه به جای شکل عدد جبری، پنج پاسخ مختلط صریح می‌بینید. چرا؟ چون چندجمله‌ای‌تان برای Maple قابل تجزیه بوده و شمارنده‌های این تجزیه درجهٔ کمتر از ۵ دارند که راحت حل شده‌اند. یا اگر جملهٔ $x$ را حذف کنید، پاسخی نمایی-لگاریتمی می‌بینید.

بنابراین باید پاسخ پرسش‌تان الآن برایتان روشن شده‌باشد. مشاهدهٔ شما به معنای وجود خطایی در کد و برنامهٔ دستورِ solve با گزینهٔ سفارشیِ explicit نیست، بلکه به این معناست که برابریِ شما به شکلی که با الگوریتم‌های رادیکال‌دار یا نمایی‌لگاریتمی یا غیرهٔ میپل حل و فرمولِ بسته بدهد نیست.