به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
135 بازدید
در دانشگاه توسط A-math-lover (665 امتیاز)
ویرایش شده توسط A-math-lover

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم

برابری جبری زیر را در نظر بگیرید:

$$x+a^x=b$$

چگونه می‌توان این برابری را به صورت جبری برحسب $x$ حل کرد؟

تلاش انجام‌شده: تلاش‌های بسیار زیادی برای حل این برابری انجام دادم، چندین‌بار سعی کردم از تابع دبلیوی لامبرت نیز استفاده کنم، اما به نتیجه‌ای نرسیدم.

توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)
+1
@Am.s برگردان درست به فارسی «تابع دبلیوی لامبرت» است نه «تابع لامبرت دبلیو». بعلاوه چرا فکر می‌کنید استفاده از تابع لامبرت یعنی حل جبری؟ مگر تابع لامبرت شکل عبارت جبری دارد؟ اتفاقا برعکس ثابت می‌شود که تابع لامبرت برحسب تابع‌های اولیه نوشته نمی‌شود. برای محاسبهٔ آن نیز از نوشتن بسط یا تقریب و روش‌های گوناگون زیادی استفاده می‌شود.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)
انتخاب شده توسط A-math-lover
 
بهترین پاسخ

شروع کنیم به بازی با برابری‌ای که نوشتید.

$$x+a^x=b\Longrightarrow a^x=b-x$$

بودن عدد ثابت در توان سمت چپ به نظر ضرر کمتری دارد تا بودنش در سمت راست، پس بیایید تغییر متغیرِ $y=b-x$ را در نظر بگیریم. پس داریم $x=b-y$.

$$a^{b-y}=y\Longrightarrow \frac{a^b}{a^y}=y\Longrightarrow a^b=ya^y$$

خب شما دوست دارید از تابع دبلیوی لامبرت استفاده کنید. این هم شبیه تابعی شد که وارونش تابع دبلیوی لامبرت بود ولی نیاز داشت که به جای $a$ در سمت راست $e$ داشته‌باشید. این هم کاری ندارد. توجه کنید که $ya^y=ye^{(\ln a)y}$ پس برابریِ سمت چپِ زیر را داریم و سپس در هر دو طرف را در $\ln a$ ضرب کردیم که دلیلش مشخص است.

$$a^b=ye^{(\ln a)y}\Longrightarrow (\ln a)a^b=(\ln a)ye^{(\ln a)y}$$

علت ضرب دو طرف در $\ln a$ در گام پیشین علاقه‌مان در استفاده از یک تغییر متغیر جدید یعنی $z=(\ln a)y$ است. پس

$$(\ln a)a^b=ze^z\Longrightarrow z=W\big((\ln a)a^b\big)$$

از اینجا هم دیگر جایگذاری وارونه در تغییر متغیرها تا رسیدن به $x$ است.

\begin{align} \Longrightarrow & y=\frac{1}{\ln a}W\big((\ln a)a^b\big)\\ \Longrightarrow & z=b-\frac{1}{\ln a}W\big((\ln a)a^b\big) \end{align}

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...