روش حل برابری $x+a^x=b$ به صورت جبری برحسب $x$

Question

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم

برابری جبری زیر را در نظر بگیرید:

$$x+a^x=b$$

چگونه می‌توان این برابری را به صورت جبری برحسب $x$ حل کرد؟

تلاش انجام‌شده: تلاش‌های بسیار زیادی برای حل این برابری انجام دادم، چندین‌بار سعی کردم از تابع دبلیوی لامبرت نیز استفاده کنم، اما به نتیجه‌ای نرسیدم.

Comments

@Am.s برگردان درست به فارسی «تابع دبلیوی لامبرت» است نه «تابع لامبرت دبلیو». بعلاوه چرا فکر می‌کنید استفاده از تابع لامبرت یعنی حل جبری؟ مگر تابع لامبرت شکل عبارت جبری دارد؟ اتفاقا برعکس ثابت می‌شود که تابع لامبرت برحسب تابع‌های اولیه نوشته نمی‌شود. برای محاسبهٔ آن نیز از نوشتن بسط یا تقریب و روش‌های گوناگون زیادی استفاده می‌شود.

Answer 1

شروع کنیم به بازی با برابری‌ای که نوشتید.

$$x+a^x=b\Longrightarrow a^x=b-x$$

بودن عدد ثابت در توان سمت چپ به نظر ضرر کمتری دارد تا بودنش در سمت راست، پس بیایید تغییر متغیرِ $y=b-x$ را در نظر بگیریم. پس داریم $x=b-y$.

$$a^{b-y}=y\Longrightarrow \frac{a^b}{a^y}=y\Longrightarrow a^b=ya^y$$

خب شما دوست دارید از تابع دبلیوی لامبرت استفاده کنید. این هم شبیه تابعی شد که وارونش تابع دبلیوی لامبرت بود ولی نیاز داشت که به جای $a$ در سمت راست $e$ داشته‌باشید. این هم کاری ندارد. توجه کنید که $ya^y=ye^{(\ln a)y}$ پس برابریِ سمت چپِ زیر را داریم و سپس در هر دو طرف را در $\ln a$ ضرب کردیم که دلیلش مشخص است.

$$a^b=ye^{(\ln a)y}\Longrightarrow (\ln a)a^b=(\ln a)ye^{(\ln a)y}$$

علت ضرب دو طرف در $\ln a$ در گام پیشین علاقه‌مان در استفاده از یک تغییر متغیر جدید یعنی $z=(\ln a)y$ است. پس

$$(\ln a)a^b=ze^z\Longrightarrow z=W\big((\ln a)a^b\big)$$

از اینجا هم دیگر جایگذاری وارونه در تغییر متغیرها تا رسیدن به $x$ است.

\begin{align} \Longrightarrow & y=\frac{1}{\ln a}W\big((\ln a)a^b\big)\\ \Longrightarrow & z=b-\frac{1}{\ln a}W\big((\ln a)a^b\big) \end{align}