تفاوت دو فرمولِ حل برابری $x^3+px+q=0$ برحسب $x$

Question

به نام خدا

برابری زیر را در نظر بگیرید:

$$x^3+px+q=0$$

برای حل این برابری برحسب $x$، فرمولی وجود دارد بدین صورت:

$$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27}}}$$

که به فرمول کاردانو معروف‌است.

اما فرمول دیگری نیز وجود دارد که بدین صورت‌است:

$$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27}}}- \frac{p}{3 \cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27}}}} $$

كه برای مثال اگر معادلهٔ $x^3-x=0$ را با این دو فرمول حل کنید، هر دو فرمول به شما عدد $1$ را می‌دهند‌.

تفاوت این دو فرمول در چیست؟ آیا باهم برابر هستند؟

Answer 1

هیج تفاوتی بین آن‌ها وجود ندارد، کافی است تساوی زیر را ثابت کنید. $$ \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2} {4}+\frac{p^3} {27}}} =-\frac{p} {\sqrt[3]{\frac{-q}{2} +\sqrt{\frac{q^2} {4}+\frac{p^3} {27}}} } $$ با یک طرفین وسطین ساده، ثابت می‌شود.