چرا نمی توان تابع دبلیوی لامبرت را برحسب تابع های اولیه به صورت جبری نوشت؟

Question

به نام خدا

در تعریف تابع دبلیوی لامبرت آمده‌است که:

تابع دبلیوی لامبرت، معکوس تابع $f(w)=we^w$ است.

که این یعنی برای این‌که تابع دبلیوی لامبرت را به‌صورت جبری برحسب تابع‌های اولیه بنویسیم، باید برابری $w=ye^y$ را بر حسب $y$ حل کنیم. اما آیا اصلاً این برابری بر حسب $y$ قابل حل است؟ چون یکی از اساتید سایت در دیدگاهی که برای پرسش بنده نوشته‌بودند، گفتند که نمی‌توان تابع دبلیوی لامبرت را برحسب تابع‌های اولیه نوشت. که این یعنی برابری $w=ye^y$ را بر حسب $y$ قابل حل نیست و نمی‌توان تابع دبلیوی لامبرت را به‌صورت جبری برحسب تابع‌های اولیه نوشت، چگونه می‌توان این موضوع را ثابت کرد؟ دیدگاه ایشان را می‌توان اینجا ببینید.

Comments

@Am.s حل‌پذیر بودن و بر حسب تابع‌های اولیه نوشتن دو مفهوم متفاوت هستند. «بر حسب تابع‌های اولیه» نوشتن یعنی حاصل انجام متناهی مرتبه عملِ ترکیب‌تابع‌ها بر روی تابع‌های نامیِ ساده (از دید کلی نه از نظر تعریفی ریاضی‌وار) مانند $\sin(x)$ و $e^x$ و چندجمله‌ای‌ها و غیره. اما حل‌پذیر بودن بسته به اینکه روی چه ساختاری صحبت می‌کنید معنای متفاوت دارد. برای نمونه اگر برای برابری‌های چندجمله‌ای صحبت می‌کنید معمولا پیش‌فرض منظور این است که با یک فرمولی که ترکیبی از رادیکال‌ها و چندجمله‌ای‌ها باشد پاسخ را یافت. از نظر عمومی هم حل‌شدن می‌تواند حتی حل‌شدن عددی را هم منظور دهد. بنابراین بین دو حرفی که می‌زنید تفاوت هست. در آخر نیز نوشته‌شدن یک تابع بر حسب تابع‌های اولیه الزاما نوشته‌شدن وارونش بر حسب تابع‌های اولیه را نتیجه نمی‌دهد.

Answer 1

اثبات این مطلب نیاز به کمی مقدمات دارد که نمی‌دانم سطح ریاضی‌تان در چه حدی است ولی یکی از ریاضی‌دان‌های کنونی که بر روی تابع لامبرت کارهای مهمی کرده‌اند آقای Rob Corless هستند. در مقالهٔ زیر می‌توانید اثبات اینکه تابع دبلیوی لامبرت بر حسب تابع‌های اولیهٔ دیگر نوشته نمی‌شود را ببینید.

مقالهٔ Algebraic properties of the Lambert W function from a result of Rosenlicht and of Liouville، نوشتهٔ Manuel Bronstein و Robert M. Corlessa و James H. Davenport و D.J. Jeffrey، مجلهٔ Integral Transforms and Special Functions، جلد ۱۹، شمارهٔ ۱۰، صفحه‌های ۷۰۹-۷۱۲، سال ۲۰۰۸، https://doi.org/10.1080/10652460802332342

البته آقای Rob Corless در نوشتهٔ دیگری به تاریخ ۱۹۹۵ که اکنون در دسترس نیست نیز این مطلب را نشان داده‌بودند (منبع شمارهٔ ۵ مقالهٔ https://doi.org/10.1080/00029890.1999.12005066).