کدام یک از تابع های $|x^2-y^2|$ و $\frac{|x-y|}{1+3|x-y|}$ یک متر بر روی $\mathbb{R}$ می شود؟

Question

کدام یک از تابع‌های زیر یک متر روی $\mathbb{R}$ نیست؟ چرا؟

1. $d(x,y)=|x^2-y^2|$
2. $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+3|x-y|}$

Comments

@ryhn برچسب‌ها را مرتبط‌تر بگذارید، برای نمونه پرسش شما یک پرسش نظریهٔ مجموعه‌ای نیست. عنوان را نیز خاص‌تر بگذارید مانند عنوانی که برایتان ویرایش کردم. به پست‌های تایپ ریاضی نیز سر بزنید.
https://math.irancircle.com/52 و https://math.irancircle.com/65
بعلاوه همیشه به تلاش خودتان اشاره کنید یا اینکه چه چیزی از پرسش برایتان گنگ است یا اشکال دارید. اصلا تعریف متر بودن و ۳ ویژگی آن را شروع به بررسی کرده‌اید؟

Answer 1

تابع اولی متر نیست زیرا $d(1,-1)= |1^2-(-1)^2 | =0,-1 \neq1$ اما دومی متر است:

واضح است که $d(x,y) \geq 0$ و $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ و $d(x,y)=d(y,x)$.حالا برای خاصیت مثلثی تابع $f(x)= \frac{x}{1+3x}$ را در نظر بگیرید:

$f' (x)= \frac{1(1+3x)-3x}{(1+3x)^2}= \frac{1}{(1+3x)^2}>0$

بنابر این تابع روی اعداد حقیقی غیر منفی صعودی است بنابر این:

$\forall a,b \in R^{ \geq 0} |a+b| \leq |a| + |b| \Rightarrow f( | a+b |)\leq f(| a | + | b | )$

$\Rightarrow \frac{ |a+b | }{1+3 | a+b | } \leq \frac{ | a | + | b | }{1+ 3(|a | + | b |)}= \frac { | a | }{1+3(| a |+ | b | )}+ \frac{ | b | }{1+3 (| a | + | b | ) } \leq \frac{ | a | }{1+3 | a | } + \frac{ | b | }{1+3 | b | }$

$\Rightarrow \forall x,y,z \in R: \frac{ | x-z | }{1+3 | x-z | } \leq \frac{ | x-y | }{1+ 3| x-y | } + \frac{ | y-z | }{1+3 | y-z | } \Rightarrow d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$

$\Box$