تابع اولی متر نیست زیرا $d(1,-1)= |1^2-(-1)^2 | =0,-1 \neq1 $ اما دومی متر است:
واضح است که $d(x,y) \geq 0$ و $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ و $d(x,y)=d(y,x)$.حالا برای خاصیت مثلثی تابع $f(x)= \frac{x}{1+3x} $ را در نظر بگیرید:
$ f' (x)= \frac{1(1+3x)-3x}{(1+3x)^2}= \frac{1}{(1+3x)^2}>0$
بنابر این تابع روی اعداد حقیقی غیر منفی صعودی است بنابر این:
$ \forall a,b \in R^{ \geq 0} |a+b| \leq |a| + |b| \Rightarrow f( | a+b |)\leq f(| a | + | b | )$
$ \Rightarrow \frac{ |a+b | }{1+3 | a+b | } \leq \frac{ | a | + | b | }{1+ 3(|a | + | b |)}= \frac { | a | }{1+3(| a |+ | b | )}+ \frac{ | b | }{1+3 (| a | + | b | ) } \leq \frac{ | a | }{1+3 | a | } + \frac{ | b | }{1+3 | b | }$
$\Rightarrow \forall x,y,z \in R: \frac{ | x-z | }{1+3 | x-z | } \leq \frac{ | x-y | }{1+ 3| x-y | } + \frac{ | y-z | }{1+3 | y-z | } \Rightarrow d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$
$ \Box $
