ثابت کنید مجموعهٔ اعداد طبیعی با مترِ $d(x,y)=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|$ کراندار می شود.

Question

نشان دهید مجموعهٔ اعداد طبیعی در فضای متریکِ $(\mathbb{R}_{>0},d)$ که $d$ در زیر تعریف شده‌است، کراندار است.

$$\forall x,y\in\mathbb{R}_{>0}\;:\;d(x,y)=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|$$

Answer 1

دو عدد طبیعی دلخواه در نظر بگیرید مانند $m,n$. حال داریم $d(m,n)=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\leq 1$. همین.

Comments

@mdgi
برای مجموعه اعداد صحیح هم میشه بگید چه طوری اثبات می کنیم؟

---

اگراین متر  برای تمام اعداد حقیقی نیز یک متر باشد دوباره $m$ و $n$ را صحیح درنظر بگیرید و در این صورت کران بالای $2$ برای فاصله ام و ان بدست می آورید