آیا انتگرال یک تابع فرد بر روی کل $\mathbb{R}$ صفر می شود؟

Question

می دانیم اگر $f(x)$ بر بازه متقارن $(-a \,, a)$ فرد باشد، خواهیم داشت:

$$\int_{-a}^a{f(x)\,dx} = 0$$

آیا این قضیه در صورت ناسره بودن انتگرال برقرار است؟ برای مثال آیا نتیجه‌گیری زیر صحیح است؟

$$\int_{-\infty}^\infty{\sin{x}\,dx = 0}$$

Answer 1

باید تعریف انتگرال ناسره را بلد باشید. اگر $f$ روی $[a, \infty)$ تعریف شده باشد در اینصورت $\int_a^\infty f(x)dx$ را به صورت $\lim_{d\to \infty}\int_a^d f(x)dx$ تعریف می کنیم. و به همین ترتیب تعریف مشابهی را برای $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ داریم.

اگر $f$ روی $(-\infty, \infty)$ تعریف شده باشد در اینصورت تعریف می کنیم

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int_{-\infty}^a f(x)dx+\int_a^\infty f(x)dx\quad \forall a\in(-\infty, \infty)$$

یعنی $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ موجود است اگر و تنها اگر $\int_a^\infty f(x)dx$ و $\int_{-\infty}^af(x)dx$ برای هر $a\in(-\infty, \infty)$ موجود باشند.

اما مثلا برای $a=0$ واضح است که $\int_0^\infty \sin xdx$ موجود نیست(چرا؟) پس این انتگرال مدنظر شما وجود ندارد.

تذکر: به $\lim_{d\to\infty}\int_{-d}^df(x)dx$ مقدار اصلی کوشی می گویند اما ممکن است این حد وجود داشته باشد در حالیکه $\int_a^\infty f(x)dx$ یا $\int_{-\infty}^af(x)dx$ موجود نباشند. پس نمی توان $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ را به صورت مقدار اصلی کوشی نمایش داد.

Comments

در مورد سینوس چون تناوب کرده و حدش منفی یا مثبت بینهایت نمی شود، نمی توان آن را به صورت مقدار اصلی کوشی نمایش داد؟

---

@amirabbas
وقتی که $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ موجود نیست چطور میخواهید آن را با مقدار اصلی کوشی(که موجود است در اینجا و برابر صفر است) برابر بدانید؟

Answer 2

نمیتوان چنیین نتیجه ایی گرفت . برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید :

$$\int_{-\infty}^{\infty} x dx$$

اگر بررسی کنید میبینید که وجود ندارد !