باید تعریف انتگرال ناسره را بلد باشید. اگر $f$ روی $[a, \infty)$ تعریف شده باشد در اینصورت $\int_a^\infty f(x)dx$ را به صورت $\lim_{d\to \infty}\int_a^d f(x)dx$ تعریف می کنیم. و به همین ترتیب تعریف مشابهی را برای $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ داریم.
اگر $f$ روی $(-\infty, \infty)$ تعریف شده باشد در اینصورت تعریف می کنیم
$$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int_{-\infty}^a f(x)dx+\int_a^\infty f(x)dx\quad \forall a\in(-\infty, \infty)$$
یعنی $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ موجود است اگر و تنها اگر $\int_a^\infty f(x)dx$ و $\int_{-\infty}^af(x)dx$ برای هر $a\in(-\infty, \infty)$ موجود باشند.
اما مثلا برای $a=0$ واضح است که $\int_0^\infty \sin xdx$ موجود نیست(چرا؟) پس این انتگرال مدنظر شما وجود ندارد.
تذکر: به $\lim_{d\to\infty}\int_{-d}^df(x)dx$ مقدار اصلی کوشی می گویند اما ممکن است این حد وجود داشته باشد در حالیکه $\int_a^\infty f(x)dx$ یا $\int_{-\infty}^af(x)dx$ موجود نباشند. پس نمی توان $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ را به صورت مقدار اصلی کوشی نمایش داد.
