انتگرال یک عبارت قدرمطلق دار را چگونه بیابیم؟ آیا حاصل این انتگرال ها همیشه برابر با تابع ثابت می شود؟

Question

تا جایی که بنده در جریانم یافتن جواب پاد دیفرانسیل زیر بدین معناست که دیفرانسل کدام تابع برابر با $f' (x) dx$ می شود. که جواب $f(x)+C$ است.

$\int f' (x)dx$

حال سوالی که ذهن من را به خود مشغول کرده این است که آیا پاد دیفرانسیلی به فرم کلی زیر جوابی دارد؟

$\int | f' (x) dx|$

اگر پاسخ مثبت است، جواب آن چیست؟

رویکرد من:

من به شخصه در تلاش خودم برای پیدا کردن جواب به این فرض که دیفرانسیل هیچ تابعی نمینواند به شکل یک عبارت قدر مطلقی باشد؛ مگر اینکه دیفرانسل آن تابع برابر صفر باشد (یا تابع اصلی ما ثابت باشد)، استناد کردم؛ سپس این فرض منتج به این گردید که پاسخ این پاد دیفرانسیل(انتگرال نامعین) همان ثابت $C$ است.

Comments

@محمدامین۱۱۱ در فرمول دوم $dx$ بیرون از قدرمطلق است، یعنی $\int|f'(x)|dx$. راهنمایی: پیرامون تلاش خودتان، چرا تابع باید مشتقش صفر باشد تا مشتق دارای قدرمطلق باشد؟ مشتق تابع $e^x$ چه می‌شود؟ اگر دور مشتقش قدرمطلق بگذارم چه می‌شود؟ حاصلِ $\int|e^x|dx$ چیست؟

Answer 1

توجه کنید که $dx$ به معنای $\Delta x$ است زمانی که $\Delta x\to 0$ و $\Delta x$ برابر با $|x_2-x_1|$ است. تعریف انتگرال با کمک حد جمع ریمان برای مساحت زیر نمودار را به یاد آورید. $\Delta x$ پهنا (عرض) مستطیل‌ها بود. چون $\Delta x$ نامنفی است پس $dx$ نیز نامنفی است.در نتیجه نوشتنِ $dx$ یا $|dx|$ تفاوتی برایتان ایجاد نخواهد کرد. چیزی که مدنظرتان است $\int|f(x)|dx$ است. و اما حدسی که زدید. توجه کنید که اثبات‌ها باید پیوسته باشند، هر گاه استدلالی کردید که بین جمله‌هایتان پرش یا عدم وجود علت حس می‌شود، باید به درستی آن شک کنید. گفته‌اید که «هیچ تابعی نمینواند به شکل یک عبارت قدر مطلقی باشد؛ مگر اینکه دیفرانسل آن تابع برابر صفر باشد». یعنی اگر فرض کنیم مشتق تابعی به شکل فرمولی قدرمطلق‌دار نوشته شود، آنگاه می‌توانیم نتیجه بگیریم که این مشتق صفر است! خب آیا چنین قضیه‌ای را جایی دیده‌اید؟ اگر بلی استناد کنید، اگر خیر، پس یعنی ادعای خودتان است. اکنون که ادعای خودتان است، علت آن چیست؟ قدرمطلق به تنهایی به معنای صفر بودن نیست. پس اینجا یک خلاء هست. پس چیزی که نوشته‌اید یک اثبات نیست. اما آیا درست است؟ خیر. مثال نقض خیلی ساده. قرار دهید $f(x)=e^x$. مشتق آن چه می‌شود؟ خودش می‌شود $f'(x)=e^x$. و چون بُرد این تابع مثبت است پس گذاشتن یا نگذاشتن قدرمطلق تفاوتی ایجاد نخواهدکرد پس اگر بنویسم $f'(x)=|e^x|$ چیز نادرستی ننوشته‌ام. اما آیا ادعای شما که چون مشتق قدرمطلق‌دار نوشته شده‌است پس مشتق صفر است، در اینجا صادق است؟ خیر. پس این یک مثال نقض برای حدس شماست.

و اما چگونه انتگرال یک عبارت قدرمطلق‌دار را محاسبه کنیم. مثال ساده که آقای @mahdiahmadileedari با فرض معین بودن انتگرال نوشتند را در نظر بگیرید. در واقع ایشان در پاسخشان فرض کرده‌اند کران‌های این انتگرال منفی یک و یک هستند ولی در نوشتن فرمول‌ها این کران‌ها را جا انداخته‌اند. اما حتی برای حالت نامعین هم می‌توان محاسبه را انجام داد.

$$\begin{align} \int |x|dx &= \begin{cases} \int xdx & ;\;x\geq 0\\ \int -xdx & ;\; x< 0 \end{cases}\\ &= \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 & ;\;x\geq 0\\ -\frac{1}{2}x^2 & ;\; x< 0 \end{cases} \end{align}$$

حتی بهتر، می‌توان از تابع علامت یعنی $\rm{sgn}(x)$ استفاده کرد که هر عدد حقیقی را به علامتش می‌برد یعنی عددهای مثبت را به یک، عددهای منفی را به منفی یک و صفر را به صفر می‌نگارد.

$$\int |x|dx=\rm{sgn}(x)\frac{x^2}{2}+c$$

که $c$ نیز در آخر یک عدد ثابت است.

برخی نرم‌افزارهای ریاضی نیز این محاسبه را انجام می‌دهند مانند میپل Maple ولی نه هر نرم‌افزاری، برای نمونه بستهٔ Sympy برای زبان برنامه‌نویسیِ Python نمی‌تواند این انتگرال را بگیرد.

در نرم‌افزار میپل:

int( abs( x ), x );

بستهٔ Sympy زبان برنامه‌نویسی پایتون می‌تواند $\int xdx$ را محاسبه کند ولی $\int |x|dx$ را به همان شکل برایتان برمی‌گرداند.

from sympy import *
x = Symbol( 'x' )
integrate( x, x )
integrate( abs( x ), x )
init_printing( use_unicode = False,  wrap_line = False )
integrate( x, x )
integrate( abs( x ), x )

در نرم‌افزار متلب:

syms x
int( abs( x ), x )

همان گونه که می‌بینید، خروجیِ نرم‌افزارِ متلب Matlab از تابعِ علامت استفاده کرده‌است که به جای کوتاه‌شدهٔ $\rm{sgn}$ از واژهٔ کامل $\rm{sign}$ استفاده کرده‌است.

Answer 2

گمان نکنم

$$\int |f(x)dx|$$ معنای خاصی داشته باشد. اما $$\int |f(x)|dx$$ با معنی است و عبارت قدر مطلق طبق تعریف قدر مطلق به دوشاخه تقسیم شده و انتگرال هر شاخه جداگانه محاسبه می شود.بعنوان مثال $$\int |x|dx$$ به دو انتگرال $$\int xdx$$ $$\int -xdx$$ تبدیل می شود که برای اولی در بازه $(0,1)$و برای دومی در بازه $(-1,0)$ محاسبه می شود که در آن$0$ ریشه عبارت داخل قدر مطلق است.. و این موضوع قابل تعمیم است.