ضابطهٔ تابع سرعت-زمان یک جسم متحرک به ما داده شده است، چگونه با کمک انتگرال ضابطهٔ تابع مکان-زمان این جسم را بیابیم؟

Question

ضابطهٔ تابعِ سرعت-زمانِ جسمِ متحرکی به ما داده شده است. چگونه با انتگرال‌گیری از این ضابطه، ضابطهٔ مکان-زمانِ این جسم را محاسبه کنم؟

من در یک نوشتن انتگرالِ مورد نیاز ابهامی دارم. اگر بخواهیم با انتگرال این ضابطه را بدست بیاوریم باید حدود انتگرال، یک متغیر باشد مثلا در بازه ۰ تا $x$ که $x$ کران بالای انتگرال ما است. اما نمی‌دانم به دلیل متغیر بودن $x$ با $x$ای که کران بالا است چگونه رفتار کنم چون انتگرال برحسب $dx$ است. آیا مثل یک انتگرال معین ساده حساب می‌شود؟ مثلا

$$\int_0^x (\sin(x))dx = -\cos(x) -(-\cos(0))= 1 - \cos(x)$$

این انتگرال‌گیری خط بالایم درست است؟

Answer 1

سلام اقا یا خانم sabaaf

جواب سوال های شما مثبت هست فقط این رو در نظر بگیرین در سوال اخر دارین از تابع سینوس ایکس در محدوده صفر تا ایکس انتگرال میگیرین که این درست نیست یعنی این تایع

$$f(x) =\begin{cases}sin (x) & 0 < x < x\\0 & سایر نقاط\end{cases}$$

شما باید در محدوده تایع سینوس از متغیر دیگری مثل ایکرگ استفاده کنین که با متوجه به اینکه اینجا برحسب ایکس انتگرال می گیرین متغیر در محدوده تابع حکم عدد ثابت رو پیدا می کنه. در اینجا که شما در مورد نمودار سرعت زمان صحبت می کنیم یعنی ما از نمودار مکان زمان مشتق گرفتیم یعنی به طور مثال ما با تابع زیر روبرو هستیم

$x=-cos(t)$

که وقتی برحسب t مشتق می گیریم با نمودار سرعت زمان روبرو هستیم و داریم

$v=sin(t)$

حال که می خواهیم برحسب t انتگرال معین بگیریم می دانیم از زمان صفر ولي تا چه زمانی، نمی دانیم در اينصورت در حدود انتگرال t نمی گذاریم چون داريم برحسب تي انتگرال مي گيريم ما هر متغير ديگري مثلا ايگرگ مي گذاريم كه نشان از ندانستن ما است و وقتي حاصل انتگرال رو بدست اورديم مي توانيم جاي ايگرگ هر زمان دلخواهي رو جايگرين كنيم

$x= \int^{y}_{0} sin(t) dt = - cos (y)+1$

موفق باشین

Comments

fesmaeili.t@
سلام خیلی ممنونم
اما فکر میکنم زمانی که ما یک متغیر در کران که با متغیر عامل انتگرال ما یکسان  نباشد مثلا طبق گفته شما y در کران بالا و عامل انتگرالdt باشه در اینطور موارد از قانون لایب نیتز که به مشتق انتگرال هم معروف هست استفاده میشد و بصورت ساده اجازه جایگزینی نداریم
و اینکه اگر قرار دادن t در کران بالا امکان پذیر نیست پس در اثبات هایی مانند
a=dv/dt
 dv=a.dt
Int/_v0^v dv = Int/_0^t a dt
v-v0 = Int/_0^t a dt
که a  یک ضابطه بر حسب t  دارد و کران بالا t هست و حتی v
در خیلی جاها من این اثبات رو دیدم که استفاده میشه و فکر نمیکنم اشتباه باشه  
 یک سوال دیگه من مقصود شما از قسمتی که f(x) رو نوشتید متوجه نشدم اگر امکانش هست بیشتر توضیح بدید .و

---

خیلی هم خوب که استفاده کردین من جواب رو با توجه به سوال شما ویرایش کردم ضمنا اگر می خواین نمودار داشته باشین انتگرال نامعین بگیرین چون انتگرال معین در واقع به شما یه جواب میده نه یه منحنی.
یک راهنمایی کوچیک هم برای تایپ فرمول ها اگر فرمول تون رو بین دو تا اصطلاحا دالر قرار بدین فرمول تون به قول معروف ریاضی وار تر نمایش داده میشه.

موفق باشین

---

fesmaeili.t@
خیلی ممنونم از راهنماییتون
من از انتگرال نامعین هم امتحان کردم اما بدلیل اینکه به ما مثلا برای همون سوال
C-cos(x)+
رو تحویل میده و راهی نمی دونم که  c  رو برام بدست بیاره و نقطه ای هم از نمودار بعدی ندارم که در این فرمول جایگزین کنم تا بتونم عدد c رو بدست بیارم