مقدار $c$ را طوری تعیینکنید که حجم حاصل از دوران نمودار تابع $y=\sin x$ حول خط $y=c$ بر روی بازهٔ $0\leq x\leq\pi$ کمینه شود.

Question

اگر تابع y=sinx در بازه بسته صفر تا پی حول خط y=c دوران کند مقدار c چقدر باشد تا حجم به دست آمده مینیمم شود؟ دوستان میدونم فرم کلی حل این سوال چطوریه ولی نمیدونم چطور مقدار c رو به دست بیارم.

Answer 1

مسئله مطرح شده در آن کتاب بدین صورت است و مسئله جالبی است.

می خواهیم مقادیر min و max را برای حجم جسم حاصل از دوران تابع $y=\sin x$ در بازه $[0,\pi]$ حول خط $y=c$ که در آن $0 \leq c \leq 1$ (محور دوران داخلی) است را پیدا کنیم. چون نمودار و جسم نسبت به $x=\pi/2$ متقارن هستند، حجم را در بازه $[0,\pi/2]$ می یابیم و دو برابر می کنیم. با استفاده از روش حلقه مستدیر داریم: $$V=2 (\pi\int_0^{x_1} R^2 \,dx+\pi\int_{x_1}^{\pi/2} \acute R^2 \,dx)$$ که در آن $R=c-\sin x$ و $\acute R=\sin x-c$ و $x_1$ طول محل برخورد نمودار و محور دوران است. می دانیم $R^2=\acute R^2$ است. پس داریم: $$\require{cancel}\begin{align} V &=2 (\pi\int_0^{x_1} R^2 \,dx+\pi\int_{x_1}^{\pi/2} R^2 \,dx) \\ &=2 (\pi\int_0^{\pi/2} R^2 \,dx) \\ &=2\pi\int_0^{\pi/2} (c-\sin x)^2 \,dx\\ V(c)&=\pi^2 c^2 - 4\pi c+ {\pi^2 \over 2} \\ \end {align}$$ و بدین ترتیب حجم جسم به عنوان تابعی از $c$ به دست می آید. در ادامه باید اکسترمم های مطلق تابع حجم را در بازه $c \in [0,1]$ بیابیم. برای این کار مقدار تابع را به ازای ریشه مشتق تابع و نقاط انتهایی بازه حساب می کنیم. $$V' ( c)=0 \Rightarrow c=\frac2\pi$$ $$\begin {align} V (\frac2\pi)&={\pi^2 \over 2}-4\\ V (0)&={\pi^2 \over 2}\\ V(1)&= {3\pi^2 \over 2}-4\pi \end {align}$$ از این سه مقدار، بزرگترین آن ها $V (0)$ و کوچکترین آن ها $V (\frac2\pi)$ است. پس max حجم جسم حاصل از دوران زمانی است که محور دوران $y=0$ و min آن زمانی است که محور دوران $y=\frac2\pi$ باشد.

Answer 2

ابتدا عرض مرکز جرم تابع را می یابیم (در این مسئله نیازی به طول مرکز جرم نیست).

$$\bar y=\frac {{1 \over 2} \int_a^b f^2 (x) \, dx}{\int_a^b f (x) \, dx}=\frac {{1 \over 2} \int_0^{\pi} \sin^2x \, dx}{\int_0^{\pi} \sin x \, dx}={\pi \over 8}$$ طبق قضیه پاپوس حجم جسم حاصل از دوران به صورت زیر است. $$V=2\pi \, d \, A=2\pi \,d × 2 = 4\pi\, d$$ که در آن $d$ فاصله مرکز جرم از محور دوران **خارجی** است. واضح است که کمترین فاصله زمانی است که محور دوران $y=0$ باشد.

Comments

این مسئله را در صورتی حل کردم که محور دوران خارجی باشد و ناحیه را قطع نکند. اگر محور دوران ناحیه را قطع کند مسئله بسیار پیچیده می شود و بنده مشابه آن را در هیچ کتابی ندیده ام و فکر می کنم منظور کتاب نیز همان محور دوران خارجی است.

---

تشکر بسیار از شما.ممنون از راهنمایی تون کتاب توماس ترجمه جناب آقای دیانی و آقای زارع پور این مسئله رو مطرح کرده