مساحتِ رویهٔ ساخته شده بوسیلهٔ دوران $y=\sin x$ پیرامون محورِ $x$ها در بازهٔ $[0,\pi]$ را بیابید.

Question

باسلام. یکی از تست‌های کنکور ارشد یک رشته‌ای، مساحت حاصل از دوران تابع سینوس در بازهٔ صفر تا $\pi$ حول محور $x$ها را می‌خواسته‌است. هر چه گشتم جواب تشریحی‌اش را پیدا نکردم. ممنون می‌شوم راهنمایی کنید.

Answer 1

سطح حاصل از دوران منحنی $y=f(x)>0$ حول محور $x$ از $x=a$ تا $x=b$ برابر است با: $$\begin{align}S&=\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\\ &=\int_0^\pi2\pi\sin x\sqrt{1+\cos^2x}dx\end{align}$$ با تغییر متغیر $t=\cos x$ خواهیم داشت: $$S=\int_{-1}^12\pi\sqrt{1+t^2}dt$$ با تغییر متغیر $t=\tan \theta$ داریم: $$S=\int_{-\frac\pi4}^\frac \pi4 2\pi\sec^3\theta d\theta$$ که اینو دیگه احیانا قبلا باید دیده باشید که با جز به جز می تونید حل کنید $u=\sec\theta, dv=\sec^2\theta d\theta$ در اینصورت $du=\sec\theta\tan\theta d\theta, v=\tan\theta$: $$\int \sec^3\theta=\frac 12\sec\theta\tan\theta +\frac 12\int \sec\theta d\theta$$ و $\int\sec\theta d\theta =\ln|\sec \theta +\tan\theta|$ میتونید جواب انتگرال رو پیدا کنید.