سطح حاصل از دوران منحنی $y=f(x)>0$ حول محور $x$ از $x=a$ تا $x=b$ برابر است با:
$$\begin{align}S&=\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\\
&=\int_0^\pi2\pi\sin x\sqrt{1+\cos^2x}dx\end{align}$$
با تغییر متغیر $t=\cos x$ خواهیم داشت:
$$S=\int_{-1}^12\pi\sqrt{1+t^2}dt$$
با تغییر متغیر $t=\tan \theta$ داریم:
$$S=\int_{-\frac\pi4}^\frac \pi4 2\pi\sec^3\theta d\theta$$
که اینو دیگه احیانا قبلا باید دیده باشید که با جز به جز می تونید حل کنید $u=\sec\theta, dv=\sec^2\theta d\theta$ در اینصورت $du=\sec\theta\tan\theta d\theta, v=\tan\theta$:
$$\int \sec^3\theta=\frac 12\sec\theta\tan\theta +\frac 12\int \sec\theta d\theta$$
و $\int\sec\theta d\theta =\ln|\sec \theta +\tan\theta|$ میتونید جواب انتگرال رو پیدا کنید.
