جمع ریمان تابع $\frac{x}{2}$ در بازهٔ $[0,2]$ که به $n$ زیربازهٔ مساوی با نماینده هایی که یک چهارم با ابتدای زیربازه فاصله دارند را بیابید.

Question

پرسش: تابعی به معادلهٔ $f(x)=\frac{x}{2}$ را در بازهٔ $[0,2]$ نظر بگیرید. مجموع ریمان تابع در این بازه به طوری که هر $c_i$ (نمایندهٔ زیربازه‌ها) نقطه‌ای به طول $\frac{1}{4}$ طول هر زیر بازه نسبت به ابتدای آن باشد چیست؟

1. $\frac{2-5n}{2n}$
2. $\frac{2n+5}{2n}$
3. $\frac{2n-1}{2n}$
4. $\frac{5n+1}{2n}$

Comments

انتخاب گزینهٔ صحیح در این تست بسیار ساده‌است. چون انتگرال مورد نظر که با این جمع قرار است تقریب بخورد سریع ذهنی محاسبه می‌شود و برابر یک است کافیست توجه کنید که حد گزینهٔ صحیح زمانی‌که $n$ به بینهایت میل می‌کند باید یک شود پس الف و دال نادرست هستند. سپس اگر به حالت $n=2$ که قبل زا ویرایش پرسش در زیر برایتان گذاشتم نگاه کنید گزینهٔ ب را رد می‌کند پس پاسخ درست گزینهٔ جیم است.

---

AmirHosein@ آقای دکتر آیا عبارت پاسخ منحصر به فرد است یا خیر؟

---

@good4us در ابتدایی که پرسش پست شده‌بود متن پرسش خوب نوشته نشده‌بود و پاسخ یکتا نداشت ولی پس از ویرایشی که پرسش‌کننده کردند پاسخ یکتاست.

Answer 1

متن پرسش را اشتباه نوشته‌اید، هر $c_i$ قرار است یک‌چهارم طول زیربازه‌ای که از آن انتخاب می‌شود از ابتدای زیبازه فاصله داشته باشد. مثلا اگر دو زیربازه برداشته‌اید $[0,1]$ و $[1,2]$، قرار است $c_2$، $\frac{2-1}{4}$ بعلاوهٔ $1$ باشد نه اینکه خودِ $\frac{2-1}{4}$، زیرا در آن‌صورت اصلا در بازهٔ مربوطه قرار نمی‌گیرد!

چون پرسش شما تعداد زیربازه‌ها و اینکه آیا باید درازای زیربازه‌ها با هم برابر باشد یا خیر را مشخص نکرده‌است پس پرسش‌تان دارای پاسخ یکتا نیست. برای نمونه من همان دو زیربازه با درازای برابر را برمی‌دارم. $c_1=0.25$ و $c_2=1.25$. اکنون جمع ریمانی که قرار است تقریب انتگرال باشد برابر می‌شود با:

$$(1-0)\times\frac{0.25}{2}+(2-1)\times\frac{1.25}{2}=0.75$$ حاصل دقیق انتگرال، $\int_0^2\frac{x}{2}dx$، برابر با یک است. خوب نبودن تقریبمان به دلیل کم بودن تعداد زیربازه‌هاست.

Comments

متن پرسش درسته و سوال کتاب از  رمزینه هست

---

@hamid۲۲۲۲۴۴۱ متنی که پیش از ویرایش پرسش‌تان نوشته‌بودید اشتباه بود! اینکه ویرایش کرده‌اید کار خوبی است ولی به جای اینکه بگوئید اشتباه گفته‌ام می‌توانید متن پیشین را با متن کنونی مقایسه کنید و ببینید که به «یک چهارم درازای بازه از ابتدای بازه» در متن جدید اشاره شده‌است در حالیکه در متن پیشینتان نوشته بودید یک چهارم درازای بازه باشد!

---

@hamid۲۲۲۲۴۴۱ بعلاوهٔ اینکه اکنون پس از ویرایش گزینه‌ها را افزوده‌اید که نشان می‌دهد تعداد تقسیم‌بندی زیربازه را $n$ گرفته‌اند! در متن پیشین گزینه‌ها نبودند و در نتیجه خواننده کاملا آزاد است. به هر حال امیدوارم که پاسخی را که گذاشته‌ام خوانده باشید زیرا برای حل در حالت $n$ هیچ کار اضافه‌تری نیاز نیست انجام بدهید و با دقیقا همین روش می‌توانید گزینهٔ صحیح را بیابید.