متن پرسش را اشتباه نوشتهاید، هر $c_i$ قرار است یکچهارم طول زیربازهای که از آن انتخاب میشود از ابتدای زیبازه فاصله داشته باشد. مثلا اگر دو زیربازه برداشتهاید $[0,1]$ و $[1,2]$، قرار است $c_2$، $\frac{2-1}{4}$ بعلاوهٔ $1$ باشد نه اینکه خودِ $\frac{2-1}{4}$، زیرا در آنصورت اصلا در بازهٔ مربوطه قرار نمیگیرد!
چون پرسش شما تعداد زیربازهها و اینکه آیا باید درازای زیربازهها با هم برابر باشد یا خیر را مشخص نکردهاست پس پرسشتان دارای پاسخ یکتا نیست. برای نمونه من همان دو زیربازه با درازای برابر را برمیدارم. $c_1=0.25$ و $c_2=1.25$. اکنون جمع ریمانی که قرار است تقریب انتگرال باشد برابر میشود با:
$$(1-0)\times\frac{0.25}{2}+(2-1)\times\frac{1.25}{2}=0.75$$
حاصل دقیق انتگرال، $\int_0^2\frac{x}{2}dx$، برابر با یک است. خوب نبودن تقریبمان به دلیل کم بودن تعداد زیربازههاست.
