پاسخ های برابری مثلثاتی $\sin 2x=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-1$ در بازهٔ $[0,\pi]$ را بیابید.

Question

همه جواب‌های $\sin 2x= \sqrt 2 \sin x + \sqrt 2 \cos x - 1$ در بازهٔ $[0,\pi]$ را بدست‌آورید.

‌ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

@Mahdi.k شرط حداقل تعداد کاراکترها برای این گذاشته شده است که به مشکل یا تلاش خودتان اشاره کنید نه اینکه در متن نقطه‌نقطه پر کنید. عنوان پرسش‌تان نیز مناسب نبود، به ویرایشی که انجام دادم نگاه کنید.

Answer 1

$$\begin{array}{l} 1+\sin 2x= \sqrt{2} (\sin x+\cos x)\Longrightarrow\\ (\sin x+\cos x)^{2}= \sqrt{2} (\sin x+\cos x) \end{array}$$

دو حالت داریم. اگر \begin{align} \sin x+\cos x=0 &\Rightarrow \tan x=-1\\ &\Rightarrow x= \frac{3 \pi }{4} \end{align}

یا اگر

\begin{align} sin x+\cos x \neq 0 &\Rightarrow \sin x+\cos x = \sqrt{2} \\ &\Rightarrow \sqrt{2} \sin(x+ \frac{ \pi }{4})= \sqrt{2}\\ &\Rightarrow \sin(x+ \frac{ \pi }{4})=1\\ &\Rightarrow x+\frac{ \pi }{4}=\frac{ \pi }{2}\\ &\Rightarrow x=\frac{ \pi }{4} \end{align}

Answer 2

به نام خالق ریاضیات.

با توجه به معادله فوق، می توان نوشت:

$sin2x +1 = \sqrt{2}sinx+ \sqrt{2}cosx$

یک راه برای حل چنین معادله هایی، استفاده از توان رسانی است. پس در این صورت داریم:

$sin^22x+1+4sinx.cosx=2sin^2x+2cos^2x+4sinx.cosx \Longrightarrow sin^22x+1=2(sin^2x+cos^2x) \Longrightarrow (sin2x+1)(sin2x-1)=0$

از طرفی بنا به فرض مسئله، خواهیم داشت:

$2x= \frac{π}{2} \Longrightarrow x= \frac{π}{4}$

یا خواهیم داشت:

$2x= \frac{3π}{2} \Longrightarrow x= \frac{3π}{4}$

Comments

هنگامی که یک معادله سینوسی به توان می رسد، عدد توان فقط روی کلمه سینوس یا کسینوس قرار می‌گیرد بنابر این $\sin^2x \neq \sin x^2$

---

@Ramtin تشکر از راهنمایی دوست عزیز. پاسخ اصلاح گردید.