مجموعه $x$-هایی که در معادلۀ مثلثاتی زیر صدق می کنند را بیابید. $$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3$$

Question

مجموعه $x$-های عضو مجموعهٔ اعداد حقیقی ($x \in \mathbb{R}$) که در معادلۀ مثلثاتی زیر صدق می‌کنند را به‌دست آورید:

$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3$$

Answer 1

به نام خدا

$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3$$

ابتدا در سمت راست تساوی، عدد 3 را به‌صورت $3\cdot 1$ بنویسید.

$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3\cdot 1$$

و بعد همانطور که می‌دانید، $\sin^2x+\cos^2x=1$. پس می‌توانید در سمت راست تساوی، به‌جای 1، $\sin^2x+\cos^2x$ را قرار دهید.

$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3\cdot \big(\sin^2x+\cos^2x\big)$$

در نتیجه:

$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x-3\cdot \big(\sin^2x+\cos^2x\big)=0$$

سپس:

$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x-3\sin^2x-3\cos^2x=0$$

و بعد سمت چپ تساوی را ساده کنید.

$$3\sin^2x-\sin x\cdot \cos x-4\cos^2x=0$$

سپس طرفین تساوی را بر $\cos^2x$ تقسیم کنید.

$$3\tan^2x-\tan x-4=0$$

تغییر متغیر $\tan x =t$ را اعمال کنید و معادلۀ درجۀ دوم به‌دست آمده را حل کنید.

$$3t^2-t-4=0$$

با حل این معادله برحسب $t$، ریشه‌های معادله برابر با $-1$ و $\frac{4}{3}$ می‌شوند.

سپس این دو مقدارِ $t$ را در $\tan x =t$ قرار دهید.

$$\tan x = -1$$ $$\tan x = \frac{4}{3}$$

هر دو معادله را بر حسب $x$ حل کنید.

$$\tan x = -1 \Rightarrow x = \arctan (-1) \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x =\frac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$$ $$\tan x = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \arctan\bigg( \frac{4}{3} \bigg) \Rightarrow x = \arctan\bigg( \frac{4}{3} \bigg)+k\pi,k\in\mathbb{Z},x\not= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$$

پس در نهایت:

$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3$$ $$\large \boxed{x =\begin{cases} \frac{3\pi}{4} +k\pi & k\in\mathbb{Z}\\ \arctan\bigg(\frac{4}{3} \bigg)+k\pi & k\in\mathbb{Z}\end{cases}}$$

Comments

درود بر شما ، روش حلتان علاوه بر درستی، بسیار کامل و زیبا توضیح داده شده است.