به نام خدا
$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3$$
ابتدا در سمت راست تساوی، عدد 3 را بهصورت $3\cdot 1$ بنویسید.
$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3\cdot 1$$
و بعد همانطور که میدانید، $\sin^2x+\cos^2x=1$. پس میتوانید در سمت راست تساوی، بهجای 1، $\sin^2x+\cos^2x$ را قرار دهید.
$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3\cdot \big(\sin^2x+\cos^2x\big)$$
در نتیجه:
$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x-3\cdot \big(\sin^2x+\cos^2x\big)=0$$
سپس:
$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x-3\sin^2x-3\cos^2x=0$$
و بعد سمت چپ تساوی را ساده کنید.
$$3\sin^2x-\sin x\cdot \cos x-4\cos^2x=0$$
سپس طرفین تساوی را بر $\cos^2x$ تقسیم کنید.
$$3\tan^2x-\tan x-4=0$$
تغییر متغیر $\tan x =t$ را اعمال کنید و معادلۀ درجۀ دوم بهدست آمده را حل کنید.
$$3t^2-t-4=0$$
با حل این معادله برحسب $t$، ریشههای معادله برابر با $-1$ و $ \frac{4}{3} $ میشوند.
سپس این دو مقدارِ $t$ را در $\tan x =t$ قرار دهید.
$$\tan x = -1$$
$$\tan x = \frac{4}{3} $$
هر دو معادله را بر حسب $x$ حل کنید.
$$\tan x = -1 \Rightarrow x = \arctan (-1) \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x =\frac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$$
$$\tan x = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \arctan\bigg( \frac{4}{3} \bigg) \Rightarrow x = \arctan\bigg( \frac{4}{3} \bigg)+k\pi,k\in\mathbb{Z},x\not= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} $$
پس در نهایت:
$$6\sin^2{x}-\sin {x} \cdot \cos x-\cos^{2}x=3$$
$$\large \boxed{x =\begin{cases} \frac{3\pi}{4} +k\pi & k\in\mathbb{Z}\\ \arctan\bigg(\frac{4}{3} \bigg)+k\pi & k\in\mathbb{Z}\end{cases}}$$
