حاصل عبارت مثلثاتی $\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)$ را زمانی که $x=\frac{\pi}{7}$ است بیابید.

Question

حاصل عبارت $\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x) $ به ازای $x= \frac{ \pi }{7} $ کدام است؟

1. صفر
2. $ \frac{1}{2}\cot( \frac{ \pi }{14} ) $
3. $\cos( \frac{ \pi }{14}) $
4. $\tan( \frac{\pi}{14}) $

Answer 1

رابطهٔ مثلثاتی زیر را که در کتاب‌های کمک‌درسی حسابان نیز می‌توانید ببینید را نگاه بیندازید. $$\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx=\dfrac{\cos \frac{x}{2}-\cos ((n+\frac{1}{2})x)}{2\sin\frac{x}{2}}$$ در پرسش شما $n=3$ و $x=\frac{\pi}{7}$ می‌باشد پس با جایگذاری کار تمام می‌شود. $$\dfrac{\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{\pi}{2}}{2\sin\frac{\pi}{14}}=\frac{1}{2}\cot\frac{\pi}{14}$$

Comments

ببخشيد يه سوال داشتم $cos (n+1/2)$  ميشه $cos (3.5) $ .چرا $cos (3.5)$ با $cos 90 $ برابره ؟؟

---

سپاس از دقتتان، $x$ جا افتاده‌بود.

---

AmirHosein@
با تشکر از پاشخ شما ، اگر امکان دارد اثبات این رابطه را هم بنویسید.

---

@AlirezaZamani به عنوان پرسش جدید بپرسید و به تلاش خود اشاره کنید. برای نمونه فکر کردید که از استقرا یا فرمول‌های تبدیل جمع و ضرب مثلثاتی استفاده کنید؟