به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
194 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط A001112 (1 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

حجم حاصل از دوران ناحیه محصور بین نمودار تابع‌های $y=e^x$ و $y=x^2$ و خط‌های $x=0$ و $x=1$ حول محور افقی را محاسبه کنید.

توضیحات تصویر

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

به روش‌های گوناگون می‌توانید این حجم را محاسبه کنید. یکی از اینها به کارگیری نکتهٔ زیر که انتگرال‌گیریِ یگانه دارد است. در کل حجم گردشِ نمودارِ $y=f(x)$ پیرامون محورِ $x$ها با $\int\pi f(x)^2dx$ و حجم گردشِ این نمودار پیرامون محورِ $y$ها با $\int\pi f^{-1}(y)dy$ بدست می‌آید.

منظور از محور افقی در پرسش، محورِ $x$ها است. پس از فرمولِ نخست می‌رویم. توجه کنید که شکلِ خواسته شده برابر با دوران نمودارِ $y=e^x$ منهای دوران نمودارِ $y=x^2$ است، پس

\begin{align} \text{حجم} &= \int_0^1\pi(e^x)^2dx-\int\pi(x^2)^2dx\\ &=\pi\big(\int_0^1(e^{2x}-x^4)dx\big)\\ &=\pi(\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{5}x^5)\mid_{x=0}^{x=1}\\ &=\pi(\frac{1}{e^2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2})\\ &\approx 9.41 \end{align}

اگر پرسش نسبت به محور $y$ها را می‌خواست، آنگاه باید فرمولِ دومی را به کار می‌بردیم. توجه کنید که در $x=1$ داریم $x^2=1$ و $e^x=e$ پس می‌توانیم از خطِ $y=1$ کمک بگیریم و انتگرال را دو قسمت کنیم. بعلاوه توجه کنید که $y=x^2$ به ما $x=\sqrt{y}$ و $y=e^x$ به ما $x=\ln y$ را می‌دهد.

\begin{align} \text{حجم} &= \int_0^1\pi(\sqrt{y})^2dy+\int_1^e\pi(\ln y)^2dy\\ &= \pi\big(\int_0^1ydy+\int_1^e(\ln y)^2dy\big)\\ \end{align}

و توجه کنید که با دو بار انتگرال جزء به جزء گرفتن داریم

$$\int(\ln x)^2dx=x(\ln x)^2-2x\ln x+2x$$

پس با محاسبهٔ انتگرال‌ها و جایگذاریِ کران‌ها داریم

$$\text{حجم}=\pi\big((\frac{1}{2}-0)+(e-2)\big)=e\pi-\frac{3}{2}\pi\approx3.83$$

توضیحات تصویر

در صورت علاقه، شکل بالا در نرم‌افزار میپل با دستور زیر کشیده‌شده‌است.

p1 := plot( x^2, x = 0..1, thickness = 5, color = blue ):
p2 := plot( exp( x ), x = 0 .. 1, thickness = 5, color = blue ):
p3 := plot( 1, x = 0 .. 1, linestyle = dash, thickness = 3, color = blue ):
p4 := plot( exp( 1 ), x = 0 .. 1, linestyle = dash, thickness = 3, color = blue ):
p5 := plot( [ [ 1, -1 ], [ 1, 4 ] ], style = line, linestyle = dash, thickness = 3 , color = blue ):
p6 := plot( [ [ 0, -1 ], [ 0, 4 ] ], style = line, linestyle = dash, thickness = 3 , color = blue ):
region := piecewise( And( x >= 0, x <= 1, y >= x^2, y <= exp( x ) ), 1, 0 ):
p7 := plots:-implicitplot( region >= 1/2, filled = true, coloring = [ cyan, white ], grid = [ 100, 100 ] ):
plots:-display( p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, view = [ -0.5 .. 1.5, -0.5 .. 3.5 ], labelfont = [ "roman", 20 ], axesfont = [ "roman", 20 ], labels = [ x, y ], tickmarks = [ [ 0, 1], [ 0, 1, 2, exp( 1 ), 3 ] ] );

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...