حجم شکل ایجاد شده بین صفحه های $z=0$، $x=1$، $y=z$ و استوانهٔ $x=y^2$ در یک هشتم نخست فضای سه بعدی را با انتگرال سه گانه بیابید.

Question

یک جسم صلب محصور در یک‌هشتم اول فضا از پایین به صفحهٔ $xoy$، از بالا به صفحهٔ $y=z$ و از اطراف به استوانهٔ $x=y^2$ و صفحهٔ $x=1$ محصور است. حجم آن را با انتگرال سه‌گانه بدست آورید.

Comments

فکرکنم این جواب باشد:
$\int_{0}^{1}\left[\left( \int_{y^2}^{1}dx \right)\left( \int_{0}^{y}dz\right)\right] dy =\int_{0}^{1}(y-y^3) dy=\frac{1}{4}$

---

@Zahraa79 عنوان پرسش مناسب نیست. عنوان پرسش باید پرسش را به طور خلاصه اشاره کند نه اینکه بگوید کجا دیده شده‌است. به ویرایشی که برایتان انجام دادم توجه کنید.

---

@Zahraa79 تایپ ریاضی را تمرین کنید.صورت سوال واضح نیست

Answer 1

اگر می‌خواهید حجم یک شکل $n$-بعدی را با یک انتگرال $n$-گانه بیان کنید، تابعی که از آن انتگرال می‌گیرید تابع ثابت ۱ است. تنها کاری که باید بکنید نوشتن دامنهٔ انتگرال‌گیری است. نخست شکل مورد اشاره‌تان را در زیر می‌آوریم که با نرم‌افزار Mathematica رسم شده‌است. دستورش را نیز در زیر آورده‌ایم.

RegionPlot3D[x>=y^2&&z>=0&&x<=1&&y>=z,{x,0,2},{y,0,2},{z,0,2},PlotPoints->50,Axes->True,AxesLabel->Automatic]

این ناحیه را می‌توان به روش‌های گوناگون پارامتری کرد و به شکل ناحهٔ انتگرال‌گیری بیان کرد. برای نمونه $y$ را متغیر آزاد بین ۰ و ۱ برداریم و $x$ و $z$ را بر حسب آن بیان کنیم یعنی $0< z< y$ و $y^2< x< 1$. یا اینکه $x$ را متغیر آزاد برداریم و سپس $0< x< 1$ و $0< y< \sqrt{x}$ و $0< z< y$. که در هر حالت انتگرال برابر با $\frac{1}{4}$ می‌شود. انجام دستیِ این انتگرال سه‌گانه ساده است لیکن در صورت علاقه، دستور انجام‌شان بوسیلهٔ Mathematica نیز در زیر آورده‌شده‌است.

Integrate[1,{y,0,1},{z,0,y},{x,y^2,1}]
Integrate[1, {x, 0, 1}, {y, 0, Sqrt[x]}, {z, 0, y}]