به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
98 بازدید
در دانشگاه توسط Zahraa79 (9 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

یک جسم صلب محصور در یک‌هشتم اول فضا از پایین به صفحهٔ $xoy$، از بالا به صفحهٔ $y=z$ و از اطراف به استوانهٔ $x=y^2$ و صفحهٔ $x=1$ محصور است. حجم آن را با انتگرال سه‌گانه بدست آورید.

مرجع: دانشگاه آزاد اسلامی تهران جنوب پایان ترم اول سال۸۰ درس ریاضی عمومی ۳ رشته ریاضیات و کاربردها
توسط mdgi (1,353 امتیاز)
فکرکنم این جواب باشد:
$\int_{0}^{1}\left[\left( \int_{y^2}^{1}dx \right)\left( \int_{0}^{y}dz\right)\right] dy =\int_{0}^{1}(y-y^3) dy=\frac{1}{4}$
توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@Zahraa79 عنوان پرسش مناسب نیست. عنوان پرسش باید پرسش را به طور خلاصه اشاره کند نه اینکه بگوید کجا دیده شده‌است. به ویرایشی که برایتان انجام دادم توجه کنید.
توسط good4us (3,590 امتیاز)
+1
@Zahraa79 تایپ ریاضی را تمرین کنید.صورت سوال واضح نیست

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)

اگر می‌خواهید حجم یک شکل $n$-بعدی را با یک انتگرال $n$-گانه بیان کنید، تابعی که از آن انتگرال می‌گیرید تابع ثابت ۱ است. تنها کاری که باید بکنید نوشتن دامنهٔ انتگرال‌گیری است. نخست شکل مورد اشاره‌تان را در زیر می‌آوریم که با نرم‌افزار Mathematica رسم شده‌است. دستورش را نیز در زیر آورده‌ایم.

RegionPlot3D[x>=y^2&&z>=0&&x<=1&&y>=z,{x,0,2},{y,0,2},{z,0,2},PlotPoints->50,Axes->True,AxesLabel->Automatic]

توضیحات تصویر

این ناحیه را می‌توان به روش‌های گوناگون پارامتری کرد و به شکل ناحهٔ انتگرال‌گیری بیان کرد. برای نمونه $y$ را متغیر آزاد بین ۰ و ۱ برداریم و $x$ و $z$ را بر حسب آن بیان کنیم یعنی $0< z< y$ و $y^2< x< 1$. یا اینکه $x$ را متغیر آزاد برداریم و سپس $0< x< 1$ و $0< y< \sqrt{x}$ و $0< z< y$. که در هر حالت انتگرال برابر با $\frac{1}{4}$ می‌شود. انجام دستیِ این انتگرال سه‌گانه ساده است لیکن در صورت علاقه، دستور انجام‌شان بوسیلهٔ Mathematica نیز در زیر آورده‌شده‌است.

Integrate[1,{y,0,1},{z,0,y},{x,y^2,1}]
Integrate[1, {x, 0, 1}, {y, 0, Sqrt[x]}, {z, 0, y}]

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...