کمترین چیزی که انتظارش می‌رفت که خودتان همان ابتدای دیدن این پرسش انجام دهید این است که برابریِ رویهٔ دوم را بررسی کنید، از خود ضابطه مشخص است که باید جمله‌های سمت راست را بیاورید به سمت مخالف و سعی کنید که اتحاد مربع بسازید.
$$\begin{array}{l}
x^2+y^2+z^2=4z-4y\Longrightarrow\\
x^2+(y^2+4y+4)+(z^2-4z+4)=4+4\Longrightarrow\\
x^2+(y+2)^2+(z-2)^2=8
\end{array}$$
پس با یک کره روبرو هستید به مرکز $(0,-2,2)$ و شعاع به درازای $\sqrt{8}$. پس ناحیهٔ $D$ مورد نظر شما قسمتی از داخل کره است که داخل مخروط هم بیفتد (اشتراکشان). یک متغیر را آزاد بردارید و بازهٔ آن را بین کمینه و بیشینه مقدار ممکنش بگذارید. سپس متغیر‌های پسین را بین بیشنه و کمینهٔ مقدارهایی که درون کره و مخروط قرار می‌گیرند به کمک $\min$ و $\max$ بنویسید. در زیر تصویری با نرم‌افزار Mathematica آورده شده‌است که می‌تواند کمک‌تان کند.
S1=ContourPlot3D[z==Sqrt[x^2+y^2],{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5},ContourStyle->Orange,Mesh->None];
S2=ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2==4*z-4*y,{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5},ContourStyle->Yellow,Mesh->None];
Show[S1,S2]
پس انتگرالی که به دنبالش هستید را می‌توان به شکل زیر نوشت (این یکی از چندین شکل ممکن است و البته همگی مقدار یکسان خواهند داد). توجه کنید که زمانیکه رویهٔ مخروط از کل کره بالاتر قرار می‌گیرد آنگاه کران پائین و بالای بازهٔ $z$ها یک عدد یکسان می‌شود که یعنی در این قسمت سهم انتگرال صفر است. من اگر بخواهم حاصل این انتگرال را با ساده‌ترین روش تقریب بزنم، ناحیهٔ دایرهٔ روی صفحهٔ $x\circ y$ را به چندین قسمت (نه الزاما با مساحت یکسان) تقسیم می‌کنم و سپس از ایدهٔ جمع ریمان و محاسبتهٔ تفاضل کران بالا و پائین $z$ برای نماینده‌های این قسمت‌ها استفاده می‌کنم.
$$\int_{-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}}\int_{-2-\sqrt{8-x^2}}^{-2+\sqrt{8-x^2}}\int_{\max(2-\sqrt{8-x^2-(y+2)^2},\sqrt{x^2+y^2})}^{\max(2+\sqrt{8-x^2-(y+2)^2},\sqrt{x^2+y^2})}dzdydx$$
