به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
49 بازدید
در دانشگاه توسط kaabdip00r (4 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

ناحیهٔ $D$ ناحیهٔ بالای مخروط $\sqrt{x^2+y^2}$ و درون کره $x^2+ y^2+ z^2=4z-4y$ است. حجم $D$ را بیابید.

توسط mdgi (1,353 امتیاز)
+1
کجا بوده سوال   مربوط به ریاضی عمومی ۳ نیست؟  دوتا سواله؟
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
@kaapdip۰۰۲ من قسمت دوم پرسش‌تان که یک انتگرال متفاوت بود و درست هم تایپ نکرده‌بودید را حذف کردم. در یک پست تنها یک پرسش بپرسید، بعلاوه تلاش یا اشکال خود را اشاره کنید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)

کمترین چیزی که انتظارش می‌رفت که خودتان همان ابتدای دیدن این پرسش انجام دهید این است که برابریِ رویهٔ دوم را بررسی کنید، از خود ضابطه مشخص است که باید جمله‌های سمت راست را بیاورید به سمت مخالف و سعی کنید که اتحاد مربع بسازید.

$$\begin{array}{l} x^2+y^2+z^2=4z-4y\Longrightarrow\\ x^2+(y^2+4y+4)+(z^2-4z+4)=4+4\Longrightarrow\\ x^2+(y+2)^2+(z-2)^2=8 \end{array}$$

پس با یک کره روبرو هستید به مرکز $(0,-2,2)$ و شعاع به درازای $\sqrt{8}$. پس ناحیهٔ $D$ مورد نظر شما قسمتی از داخل کره است که داخل مخروط هم بیفتد (اشتراکشان). یک متغیر را آزاد بردارید و بازهٔ آن را بین کمینه و بیشینه مقدار ممکنش بگذارید. سپس متغیر‌های پسین را بین بیشنه و کمینهٔ مقدارهایی که درون کره و مخروط قرار می‌گیرند به کمک $\min$ و $\max$ بنویسید. در زیر تصویری با نرم‌افزار Mathematica آورده شده‌است که می‌تواند کمک‌تان کند.

S1=ContourPlot3D[z==Sqrt[x^2+y^2],{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5},ContourStyle->Orange,Mesh->None];
S2=ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2==4*z-4*y,{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5},ContourStyle->Yellow,Mesh->None];
Show[S1,S2]

توضیحات تصویر

پس انتگرالی که به دنبالش هستید را می‌توان به شکل زیر نوشت (این یکی از چندین شکل ممکن است و البته همگی مقدار یکسان خواهند داد). توجه کنید که زمانیکه رویهٔ مخروط از کل کره بالاتر قرار می‌گیرد آنگاه کران پائین و بالای بازهٔ $z$ها یک عدد یکسان می‌شود که یعنی در این قسمت سهم انتگرال صفر است. من اگر بخواهم حاصل این انتگرال را با ساده‌ترین روش تقریب بزنم، ناحیهٔ دایرهٔ روی صفحهٔ $x\circ y$ را به چندین قسمت (نه الزاما با مساحت یکسان) تقسیم می‌کنم و سپس از ایدهٔ جمع ریمان و محاسبتهٔ تفاضل کران بالا و پائین $z$ برای نماینده‌های این قسمت‌ها استفاده می‌کنم.

$$\int_{-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}}\int_{-2-\sqrt{8-x^2}}^{-2+\sqrt{8-x^2}}\int_{\max(2-\sqrt{8-x^2-(y+2)^2},\sqrt{x^2+y^2})}^{\max(2+\sqrt{8-x^2-(y+2)^2},\sqrt{x^2+y^2})}dzdydx$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...