معادله کره را x^2+y^2+(z-R)^2=R^2 بگیرید و فرض کنید 0< h< R (این کار منطقیست و خللی به مساله وارد نمی کند زیرا اگر h>R آنگاه طرف دیگر برش عرق چین می شود و اگر h=R نیمکره را داریم) که h عمق (به قول شما عرق چین ) است.
حالا اگر ما انتگرال سه گانه تابع واحد را روی این عرقچ چین حساب کنیم در واقع حجمش را حساب کرده ایم.حدود z واضح است از z=2R-h تا R+ \sqrt{R^2-(x^2+y^2)} است.از طرفی دیگر برای تعیین حدود x و y که یک دایره است باید معادله کره را با صفحه z=2R-h قطع کنیم:
\Rightarrow x^2+y^2+(2R-h-R)^2=R^2 \Rightarrow x^2+y^2=R^2-(R-h)^2
\Rightarrow V= \int _0^{2 \pi } \int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} } \int _{(2R-h)}^{R+ \sqrt{R^2-(x^2+y^2)} }rdzdrd \theta
=\int _0^{2 \pi } \int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} }r(h-R+\sqrt{R^2-r^2} )drd \theta
=2 \pi\int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} }r(h-R+ \sqrt{R^2-r^2} )dr
=\pi (h-R)(R^2-(R-h)^2)- \frac{2 \pi }{3}((h-R)^3-R^3)
=\frac{2 \pi }{3}(R^3+(R-h)^3) -\pi h(R-h)(2R-h)
حالا برای هر 0< a< 1 قرار دهید \frac{2 \pi }{3}(R^3+(R-h)^3) -\pi h(R-h)(2R-h)=a\frac{4}{3} \pi R^3 و از آنجا h را برحسب a و R به دست آورید.
\Box
