به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
830 بازدید
در دانشگاه توسط Me.S (89 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

یک کرهٔ توخالی به شعاع $r$ داریم می‌خواهیم با برش دادن آن یک کلاه عرق‌چین (شبیه به نیم‌کره) بسازیم. به فرض $a$ عددی بین صفر و یک باشد، اگر بخواهیم حجم داخل این عرق‌چین $a$ برابرِ حجم کرهٔ اولیه شود، باید برش را در چه ارتفاعی از این کره انجام دهیم؟

به نظرم باید از محاسبهٔ حجم به روش واشر استفاده شود.

توسط mdgi (1,558 امتیاز)
تلاشی کرده اید؟
توسط Me.S (89 امتیاز)
بله. فقط توانستم حجم عرقچین کروی به شعاع Rو با ارتفاع h را محاسبه کنم. اما منظور از a و رابطه را متوجه نشدم.
توسط mdgi (1,558 امتیاز)
+1
!ارتفاع $h$ مجهول است. پس حجم عرقچینی که بدست آوردید را مساوی $a$ قرار دهید تا $h$ بدست بیاد
توسط Me.S (89 امتیاز)
–1
بله. حل کردم. سپاسگزارم.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,257 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

معادله کره را $x^2+y^2+(z-R)^2=R^2$ بگیرید و فرض کنید $0< h< R $ (این کار منطقیست و خللی به مساله وارد نمی کند زیرا اگر $h>R$ آنگاه طرف دیگر برش عرق چین می شود و اگر $h=R$ نیمکره را داریم) که $h$ عمق (به قول شما عرق چین ) است.

حالا اگر ما انتگرال سه گانه تابع واحد را روی این عرقچ چین حساب کنیم در واقع حجمش را حساب کرده ایم.حدود $z$ واضح است از $z=2R-h$ تا $R+ \sqrt{R^2-(x^2+y^2)} $ است.از طرفی دیگر برای تعیین حدود $x$ و $y$ که یک دایره است باید معادله کره را با صفحه $z=2R-h$ قطع کنیم:

$ \Rightarrow x^2+y^2+(2R-h-R)^2=R^2 \Rightarrow x^2+y^2=R^2-(R-h)^2$

$ \Rightarrow V= \int _0^{2 \pi } \int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} } \int _{(2R-h)}^{R+ \sqrt{R^2-(x^2+y^2)} }rdzdrd \theta$

$=\int _0^{2 \pi } \int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} }r(h-R+\sqrt{R^2-r^2} )drd \theta $

$=2 \pi\int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} }r(h-R+ \sqrt{R^2-r^2} )dr$

$=\pi (h-R)(R^2-(R-h)^2)- \frac{2 \pi }{3}((h-R)^3-R^3)$

$=\frac{2 \pi }{3}(R^3+(R-h)^3) -\pi h(R-h)(2R-h)$

حالا برای هر $0< a< 1$ قرار دهید $\frac{2 \pi }{3}(R^3+(R-h)^3) -\pi h(R-h)(2R-h)=a\frac{4}{3} \pi R^3$ و از آنجا $h$ را برحسب $a$ و $R$ به دست آورید.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...