معادله کره را $x^2+y^2+(z-R)^2=R^2$ بگیرید و فرض کنید $0<h<R $ (این کار منطقیست و خللی به مساله وارد نمی کند زیرا اگر $h>R$ آنگاه طرف دیگر برش عرق چین می شود و اگر $h=R$ نیمکره را داریم) که $h$ عمق (به قول شما عرق چین ) است.
حالا اگر ما انتگرال سه گانه تابع واحد را روی این عرقچ چین حساب کنیم در واقع حجمش را حساب کرده ایم.حدود $z$ واضح است از $z=2R-h$ تا $R+ \sqrt{R^2-(x^2+y^2)} $ است.از طرفی دیگر برای تعیین حدود $x$ و $y$ که یک دایره است باید معادله کره را با صفحه $z=2R-h$ قطع کنیم:
$ \Rightarrow x^2+y^2+(2R-h-R)^2=R^2 \Rightarrow x^2+y^2=R^2-(R-h)^2$
$ \Rightarrow V= \int _0^{2 \pi } \int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} } \int _{(2R-h)}^{R+ \sqrt{R^2-(x^2+y^2)} }rdzdrd \theta$
$=\int _0^{2 \pi } \int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} }r(h-R+\sqrt{R^2-r^2} )drd \theta $
$=2 \pi\int _0^{ \sqrt{R^2-(R-h)^2} }r(h-R+ \sqrt{R^2-r^2} )dr$
$=\pi (h-R)(R^2-(R-h)^2)- \frac{2 \pi }{3}((h-R)^3-R^3)$
$=\frac{2 \pi }{3}(R^3+(R-h)^3) -\pi h(R-h)(2R-h)$
حالا برای هر $0<a<1$ قرار دهید $\frac{2 \pi }{3}(R^3+(R-h)^3) -\pi h(R-h)(2R-h)=a\frac{4}{3} \pi R^3$ و از آنجا $h$ را برحسب $a$ و $R$ به دست آورید.
$ \Box $
