به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
829 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

حجم حاصل از دوران یک دایره به شعاع a و مرکز (2a,0) حول محور yها را بدست آورید؟

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

معادله دایره برابر است با $(x-2a)^2+y^2=a^2$

circle

وقتی این دایره را حول محور y ها دوران دهیم شکلی مثل زیر حاصل می شود که به آن چنبره یا torus می گویند:

torus2

برای به دست آوردن حجم از روش واشر استفاده می کنیم: $$dV=\pi(R^2-r^2)dy$$

اما $(x-2a)^2=a^2-y^2$ بنابر این $x=2a\pm\sqrt{a^2-y^2}$ پس $R=2a+\sqrt{a^2-y^2}$ و $r=2a-\sqrt{a^2-y^2}$ با محاسبه ای ساده خواهیم داشت: $$dV=8a\pi\sqrt{a^2-y^2}dy$$

چون $y$ از $-a$ تا $a$ تغییر می کند داریم:

$$V=\int_{-a}^a8a\pi\sqrt{a^2-y^2}dy$$

پس کافی است انتگرال بالا را بیابید که آن هم با یک تغییر متغیر $y=a\sin t$ می توان پیدا کرد: $$\begin{align}\int_{-a}^a\sqrt{a^2-y^2}dy&=\int_{-\frac\pi2}^{\frac \pi 2}|a\cos t|(a\cos t)dt\\ &=a^2\int_{-\frac \pi2}^{\frac\pi 2}\cos^2t dt\\ &=a^2\int_{-\frac\pi 2}^{\frac \pi 2}\frac{1+\cos 2t}2dt\\ &=a^2(\frac 12t+\frac 14\sin 2t)|_{-\frac\pi 2}^{\frac \pi2}\\ &=a^2(\frac\pi2)\end{align}$$

بنابراین $$V=4a^3\pi^2$$

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

روش دیگر (و آسان تر) استفاده از قضیه پاپوس است.

قضیه اول پاپوس: اگر ناحیه مسطحی را حول خطی از صفحه که آن ناحیه را قطع نمی کند دوران دهیم، آنگاه اندازه حجم جسم دوار حاصل، برابر است با حاصلضرب مساحت آن ناحیه در مسافت پیموده شده توسط مرکز ثقل آن ناحیه.

در این مثال مساحت دایره $\pi a^2$ و مسافتی که مرکز دایره [مرکز ثقل دایره مرکز آن است] می پیماید برابر است با محیط دایره ای به شعاع $2a $ که می شود $4 \pi a $ . پس: $$V=(4 \pi a)(\pi a^2)=4 \pi^2 a^3$$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...