Question

حجم حاصل از دوران یک دایره به شعاع a و مرکز (2a,0) حول محور yها را بدست آورید؟

Answer 1

معادله دایره برابر است با $(x-2a)^2+y^2=a^2$

وقتی این دایره را حول محور y ها دوران دهیم شکلی مثل زیر حاصل می شود که به آن چنبره یا torus می گویند:

برای به دست آوردن حجم از روش واشر استفاده می کنیم:

$$dV=\pi(R^2-r^2)dy$$

اما $(x-2a)^2=a^2-y^2$ بنابر این $x=2a\pm\sqrt{a^2-y^2}$ پس $R=2a+\sqrt{a^2-y^2}$ و $r=2a-\sqrt{a^2-y^2}$ با محاسبه ای ساده خواهیم داشت:

$$dV=8a\pi\sqrt{a^2-y^2}dy$$

چون $y$ از $-a$ تا $a$ تغییر می کند داریم:

$$V=\int_{-a}^a8a\pi\sqrt{a^2-y^2}dy$$

پس کافی است انتگرال بالا را بیابید که آن هم با یک تغییر متغیر $y=a\sin t$ می توان پیدا کرد:

$$\begin{align}\int_{-a}^a\sqrt{a^2-y^2}dy&=\int_{-\frac\pi2}^{\frac \pi 2}|a\cos t|(a\cos t)dt\\ &=a^2\int_{-\frac \pi2}^{\frac\pi 2}\cos^2t dt\\ &=a^2\int_{-\frac\pi 2}^{\frac \pi 2}\frac{1+\cos 2t}2dt\\ &=a^2(\frac 12t+\frac 14\sin 2t)|_{-\frac\pi 2}^{\frac \pi2}\\ &=a^2(\frac\pi2)\end{align}$$

بنابراین

$$V=4a^3\pi^2$$

Answer 2

روش دیگر (و آسان تر) استفاده از قضیه پاپوس است.

قضیه اول پاپوس: اگر ناحیه مسطحی را حول خطی از صفحه که آن ناحیه را قطع نمی کند دوران دهیم، آنگاه اندازه حجم جسم دوار حاصل، برابر است با حاصلضرب مساحت آن ناحیه در مسافت پیموده شده توسط مرکز ثقل آن ناحیه.

در این مثال مساحت دایره $\pi a^2$ و مسافتی که مرکز دایره [مرکز ثقل دایره مرکز آن است] می پیماید برابر است با محیط دایره ای به شعاع $2a$ که می شود $4 \pi a$ . پس:

$$V=(4 \pi a)(\pi a^2)=4 \pi^2 a^3$$