به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
135 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط matt (390 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

حجم حاصل از دورانِ یک نیم‌دایره حول خطی به موازی قطر دایرهٔ اصلی که نیم‌دایره را ایجاد کرده‌است، و مماس بر قسمت گرد نیم‌دایره را بیابید. شعاع نیم‌دایره ۳ واحد است.

توسط AmirHosein (17,969 امتیاز)
+1
@matt به محفل خوش‌آمدید. سعی کنید عنوان پرسش را خاص‌تر بنویسید مانند عنوان جدیدی که برای پرسش‌تان گذاشته‌شد. زیرا پرسش‌های بسیاری در همین سایت پیرامون حجم دوران یک شکل وجود دارد. پست  زیر می‌تواند راهنمای خوبی برایتان باشد.
https://math.irancircle.com/11973
توسط matt (390 امتیاز)
@AmirHosein ممنون از راهنمایی شما. این سوال رو دبیر به صورت شفاهی بیان کردند و من در کتب دیگر سوالی به این شکل نیم دایره ندیده بودم به همین دلیل کمی در بیان سوال به صورت کتبی مشکل داشتم. ( که اگر تصویری داشتم بسیار قابل فهم تر هم میشد)

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah (1,614 امتیاز)
انتخاب شده توسط matt
 
بهترین پاسخ

بنام خدا. طبق شکل حجم حاصل از دوران نیم دایره حول محور $x$ها داریم:

$$V= \int \pi y^2dx= \int _{-3}^{3} \pi y^2dx=2 \pi \int _{0}^{3}y^2dx$$

توضیحات تصویر

در این فرمول مقدار $y$ معادله نیم دایره است. ابتدا معادله دایره بالای محور $x$ها را بدست می‌آوریم سپس برای $y$ دو مقدار بدست می‌آید که یک مقدار آن جواب است.

$$x^2+(y-3)^2=9 \Rightarrow(y-3)^2=9-x^2 \Rightarrow y-3= \pm \sqrt{9-x^2} \Rightarrow y=- \sqrt{9-x^2} +3 $$ $$V=2 \pi \int _{0}^{3}y^2dx=2 \pi \int _{0}^{3}(3- \sqrt{9-x^2} )^2dx=2 \pi \int _{0}^{3}(9+9-x^2-6\sqrt{9-x^2})dx$$ $$V=2 \pi \int _{0}^{3}(18-x^2-6 \sqrt{9-x^2} )dx$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red] { \int ( \sqrt{a^2-x^2} )dx= \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin (\frac{x}{a}) } $$ $$V=2 \pi \big[18x- \frac{x^3}{3}-3x \sqrt{9-x^2}- 27\arcsin (\frac{x}{3}) \big] _{0}^{3}=90\pi-27\pi^2 $$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...