انتگرال دو گانه $I=\iint\limits_R\frac{1}{(1+x+y)^2}{\rm d}A$ را زمانی که $R$ ناحیهٔ بین محورهای مختصات و خط $x+y=1$ است بیابید.

Question

انتگرال دوگانهٔ زیر را زمانی که $R$ ناحیهٔ محدود به محورهای مختصات و خط $x+y=1$ است را به دو روش حل کنید. ممنون.

$$I=\iint\limits_R\frac{1}{(1+x+y)^2}{\rm d}A$$

که منظور از ${\rm d}A$ اِلِمانِ مساحت است.

Answer 1

روش اول :

$$\begin{align}I&=\int_0^1 \int_0^{1-x} \frac{1}{(1+x+y)^2}\ dy\ dx\\ &=\int_0^1 (-\frac{1}{1+x+y})\ |_{0}^{1-x} \ dx\\ &=\int_0^1 ( -\frac{1}{2}+\frac{1}{1+x})\ dx\\ &= -\frac{1}{2}+\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\\ &= -\frac{1}{2}+Ln(1+x)|_{0}^{1}\\ &= -\frac{1}{2}+Ln(2) \end{align} $$

روش دوم : ( همان روش اول است فقط جای $x , y$ را عوض کرده ایم )

$$\begin{align}I&=\int_0^1 \int_0^{1-y} \frac{1}{(1+x+y)^2}\ dx\ dy\\ &=\int_0^1 (-\frac{1}{1+x+y})\ |_{0}^{1-y} \ dy\\ &=\int_0^1 ( -\frac{1}{2}+\frac{1}{1+y})\ dy\\ &= -\frac{1}{2}+\int_0^1\frac{1}{1+y}\ dy\\ &= -\frac{1}{2}+Ln(1+y)|_{0}^{1}\\ &= -\frac{1}{2}+Ln(2) \end{align} $$

Answer 2

ناحیه مورد نظر به صورت زیر است:

المان $dx $ را در نظر میگیریم. کف آن صفر و بالای آن $y=1-x $ است و این المان از 0 تا 1 می توانیم بکشیم. $$ I=\int \int_R \frac{dA}{ (1+x+y)^{2} } = \int_0^1 \int_0^{1-x} \frac{dy}{ (1+x+y)^{2} }dx= $$ می دانیم که: $$ \int \frac{dy}{ (1+x+y)^{2} }= \frac{-1}{ 1+x+y }$$ پس با جایگذاری خواهیم داشت: $$ I= \int_0^1 ( \frac{1}{1+x}- \frac{1}{2})dx =- \frac{1}{2}+ln(2)$$