مسئله مطرح شده در آن کتاب بدین صورت است و مسئله جالبی است.
می خواهیم مقادیر min و max را برای حجم جسم حاصل از دوران تابع
$y=\sin x $
در بازه
$[0,\pi] $
حول خط
$y=c $
که در آن
$0 \leq c \leq 1$
(محور دوران داخلی) است را پیدا کنیم.
چون نمودار و جسم نسبت به
$x=\pi/2 $
متقارن هستند، حجم را در بازه
$[0,\pi/2]$
می یابیم و دو برابر می کنیم.
با استفاده از روش حلقه مستدیر داریم:
$$V=2 (\pi\int_0^{x_1} R^2 \,dx+\pi\int_{x_1}^{\pi/2} \acute R^2 \,dx) $$
که در آن
$R=c-\sin x $
و
$\acute R=\sin x-c $
و
$x_1$
طول محل برخورد نمودار و محور دوران است.
می دانیم
$R^2=\acute R^2$
است. پس داریم:
$$\require{cancel}\begin{align}
V &=2 (\pi\int_0^{x_1} R^2 \,dx+\pi\int_{x_1}^{\pi/2} R^2 \,dx) \\
&=2 (\pi\int_0^{\pi/2} R^2 \,dx) \\
&=2\pi\int_0^{\pi/2} (c-\sin x)^2 \,dx\\
V(c)&=\pi^2 c^2 - 4\pi c+ {\pi^2 \over 2} \\
\end {align}$$
و بدین ترتیب حجم جسم به عنوان تابعی از $c $ به دست می آید.
در ادامه باید اکسترمم های مطلق تابع حجم را در بازه
$c \in [0,1] $
بیابیم. برای این کار مقدار تابع را به ازای ریشه مشتق تابع و نقاط انتهایی بازه حساب می کنیم.
$$V' ( c)=0 \Rightarrow c=\frac2\pi $$
$$\begin {align}
V (\frac2\pi)&={\pi^2 \over 2}-4\\
V (0)&={\pi^2 \over 2}\\
V(1)&= {3\pi^2 \over 2}-4\pi
\end {align}$$
از این سه مقدار، بزرگترین آن ها
$V (0) $
و کوچکترین آن ها
$V (\frac2\pi) $
است.
پس max حجم جسم حاصل از دوران زمانی است که محور دوران
$y=0$
و min آن زمانی است که محور دوران
$y=\frac2\pi$
باشد.
