تعریف دقیق دنبالهٔ متناهی و دنبالهٔ نامتناهی چیست و آیا می توان ضابطهٔ یک دنباله را با تنها داشتن چند جمله از آن یافت؟

Question

سوالی داشتم در مورد تعریف دنباله. مجموعه اعداد طبیعی رو در نظر بگیرید $N= \{1,2,3...\}$. حال دنباله رو تعریف میکنیم که دو حالت دارد:

الف) دنبالهٔ متناهی

ب) دنبالهٔ نامتناهی

دنبالهٔ متناهی: تابعی است که مانند $f$ که دامنه ی آن مجموعه ی متناهی اعداد طبیعی و برد آن زیر مجموعه ی اعداد حقیقی.

دنبالهٔ نامتناهی : تابعی است که مانند $f$ که دامنه ی آن مجموعه ی نا متناهی اعداد طبیعی و برد آن زیر مجموعه ی اعداد حقیقی.

1. آیا این تعاریف که گفتم جامع هستند یا دارای نقض هستن؟

2. وقتی ما می‌گوییم دامنه اعدادطبیعی هستند آیا باید این اعدادمتوالی باشند؟ یا نه فقط طبیعی باشند؟

3. چون دنباله تابع است پس ممکنه ضابطه داشته باشد یا نداشته باشد یا یک ضابطه داشته باشد یا چند ضابطه‌ای باشد. که به ضابطه آن جملهٔ عمومی می‌گوییم! درسته؟ اگر چند ضابطه داشته باشد کدام جمله عمومی محسوب می‌شود؟

4. اگه تعدادی از جمله یک دنباله را داشته باشیم آیا می‌توانیم جمله عمومی آنرا پیدا کنیم؟

5. اینکه می‌گویند جمله‌های یک دنباله ممکن است خط یا شکل یا هر چیز دیگری باشد یعنی چی؟

6. و اینکه اگه دامنه دنباله را به ما ندادن چگونه باید دامنه آنر بدست آورد؟

خیلی ممنون

---

دو مجموعه زیر را در نظر بگیرید :

$$\mathbb{ N_{n} }=\{1,2,3,...n\}$$ $$\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$$

و مجموعه دلخواه $A$ در نظر می‌گیریم. حال تعریف می‌کنیم:

دنباله متناهی: $$f:\mathbb{ N_{n} } \longrightarrow A$$ $$f(n)= a_{n}$$

دنباله نامتناهی: $$f:\mathbb{ N } \longrightarrow A$$ $$f(n)= a_{n}$$

Comments

@fardina پس اعداد طبیعی چی هستند؟

---

اعداد طبیعی $\{1,2,3,...\}$

---

با مراجعه به این لینک جواب سوالات‌تون رو خواهید گرفت.
https://fa.wikipedia.org/wiki/دنباله

---

@vali ممنون .ولی من جواب سوالمو نگرفتم تو اون لینک.:(

---

میشه یمکی از استاتید اینو پاسخ بدهند. خیلی بهش نیاز دارم. ممنون

Answer 1

نخست اینکه چه الزامی‌دارد که در تعریف دنبالهٔ خالی هم‌دامنه‌تان را به اعداد حقیقی محدود کرده‌اید؟ اگر از دنباله‌های حقیقی صحبت می‌کنید بله برد تابع نمایش‌دهندهٔ دنباله‌تان باید از اعداد حقیقی تشکیل شده باشد.

۱- دنباله یک تابع با دامنه‌ای شمارش‌پذیر است. اگر این دامنه متناهی باشد، می‌توان برای تأکید از لفظ دنبالهٔ متناهی استفاده کرد و اگر دنباله‌تان نامتناهی است برای تأکید از دنبالهٔ نامتناهی استفاده کنید. در خیلی موارد از n-تایی مرتب به جای لفظ دنبالهٔ متناهی استفاده می‌شود ولی سنت یا قانون ثابتی نیست. بنابراین در تعریفتان من تنها قسمت «برد آن زیرمجموعهٔ اعداد حقیقی باشد» را اضافه می‌بینم زیرا که برای نمونه می‌توانید بگوئید دنباله‌ای از اعداد مختلط یا «برای هر تابع پیوسته می‌توان دنباله‌ای از چندجمله‌ای‌ها یافت که به آن همگرای یکنواخت باشد» و از این قبیل. لذا تحدید کردن تعریف دنباله به اعداد حقیقی مگر در بحث خاص درست نیست.

۲- در واقع علتی به انتخاب اعداد طبیعی به عنوان دامنهٔ تابعِ دامنه‌تان نیست و می‌توانید مجموعهٔ اندیس‌گذار (دامنهٔ تابع دنباله‌تان) را هر مجموعهٔ شمارش‌پذیر دیگری نیز بگیرید ولی عملا علت انتخاب مجموعه‌های شمارش‌پذیر دوسو بودنشان با زیرمجموعه‌ای از اعداد طبیعی بوده که بشود آنها را به ترتیب قرار داد. شما می‌توانید از $${1,3,5,9,4}$$ برای اندیس‌گذاری استفاده کنید ولی هیچ چیزی از آن بدست نمی‌آورید زیرا با نوشتن $${a_1,a_3,a_5,a_9,a_4}$$ یا نوشتن $${a_1,a_2,a_3,a_4,a_5}$$ هیچ مطلبی تغییر نخواهد کرد به غیر از اینکه کار کردن با دومی روان‌تر است و در ضمن مخاطب شما اگر از قرارداد شما خبری نداشته باشد از خواندن اولی تنها سردرگمی خواهد داشت. شما حتی می‌توانید اندیس‌گذارتان را چیزهایی دیگر بگیرید مادامی که مجموعه‌ای شمارش‌پذیر است و گر نه تابع حاصلتان دیگر نام دنباله نخواهد گرفت.

۳- بحث ضابطه داشتن وابسته به تعریف شما از ضابطه است. به طور معمول چندین لفظ ضابطه داریم مانند ضابطهٔ بسته، ضابطهٔ ضمنی، ضابطهٔ پارامتری و ... . چیزی که من گمان می‌کنم منظور شما است این است که اگر تابع دنبالهٔ شما اعداد طبیعی (یا زیرمجموعه‌ای از آن) در نظر گرفته شده باشد آنگاه آیا می‌شود جملهٔ n-اُم این دنباله را با یک فرمول دارای تنها یک متغیر n نوشت یا خیر. بهترین مثال برای شما دنبالهٔ اعداد اول است. چون مجموعهٔ اعداد اول زیرمجموعهٔ اعداد طبیعی است پس شمارش‌پذیر است و در نتیجه می‌توان آنها را مرتب کرد. به فرض با ترتیب کوچکتری رایج اعداد آن را مرتب کنیم. پس n-اُمین عدد اول، n-اُمین عضو این دنبالهٔ ما است ولی همانگونه که ممکن است بدانید هیچ فرمول بسته تنها با متغیر n برای دادن n-اُمین عدد اول وجود ندارد. حتی فرمول چندضابطه‌ای بسته.

۴- مثال دنبالهٔ اعداد اول دوباره مثالی برای این پرسش شما است که حتی با دانستن n عدد اول آغازین فرمول بسته‌ای با n-متغیر نداریم که این n عدد اول را بگیرد و در خروجی‌اش n+1 اُمین عدد اول را بدهد.

۵- معنای این پرسش این است که شما تعریف دنباله را با تعریف دنبالهٔ حقیقی اشتباه در ذهنتان دارید. همان‌گونه که پیش‌تر اشاره کردیم اعضای دنباله نیازی به عدد (چه برسد به عدد حقیقی) بودن ندارند! برای نمونه فرض کنید یک پادشاه را در نظر گرفته‌اید در یک سرزمین که تا ابد وجود داشته باشد و همواره سلطنتی بماند. یک دنباله به این شکل بسازید. اولین عضو را نام این پادشاه بگیرید. دومین عضو را نام پادشاه بعدی ایشان بگیرید. همین‌گونه ادامه دهید و عضو n+1 ام را نام پادشاه پس از پادشاه مربوط به عضو n ام بگیرید. شما یک دنباله ساختید. اما اعضای این دنباله نام پادشاهان یک سرزمین هستند! (اگر این سلطنت به اتمام برسد یا این سرزمین نابود شود، آنگاه دنباله‌تان یک دنبالهٔ متناهی است یا به عبارت دیگر یک چندتایی مرتب است). اکنون به روش مشابه می‌توانید یک دنباله با این ایده بسازید، اولین عضو نقطه، دومین عضو خط، سومین عضو، صفحه، چهارمین عضو فضای سه بعدی، ...، n امین عضو فشای n-1 بعدی، ...

۶- شما هرگز نیاز به گرفتن دامنهٔ دنباله ندارید! در دنباله تنها امر مهم این است که شما یک مجموعهٔ شمارش‌پذیر را با یک ترتیب مرتب کرده‌اید. ولی باید اعضای دنباله‌تان و ترتیبشان مشخص باشد و گر نه شما دنباله‌ای تعریف نکرده‌اید. « فلان یک دنباله است» یعنی «فلان یک مجموعهٔ شمارش‌پذیر است که برای اعضای آن یک ترتیب قائل شده‌اید و اینکه n-اُمین عنصر در این ترتیب کدام است را می‌توانید بگوئید (هر چند که سخت یا از نظر محاسباتی طولانی باشد، مانند n-امین عدد اول).

چند نکته: ۱- در اشاره به دنبالهٔ اعداد اول، ادعا نکرده‌ام که نمی‌توان فرمولی بسته برای آن ارائه داد، تنها مشخص است که تا به کنون برای آن فرمولی بسته ندادند. ولی برای مثال نام پادشاهان یک سرزمین به ترتیب حکومت‌کردنشان، روشن است که الزامی ندارد فرمولی بسته داد که با گرفتن یک عدد طبیعی نام پادشاه مربوطه را بسازد (البته باز باید این را در نظر بگیرید که باید با فرض‌هایی که در دست دارید بحث کنید و فرضی همچون اینکه پادشاهان این سرزمین نامشان را با عدد مرتبطشان انتخاب می‌کنند در مسأله مطرح نشده است پس از آوردن مثال مانند «اشک n ام=$a_n$» خودداری نمایید که مثال نقض نخواهد بود).

۲- یک تعمیم برای دنباله، تور است که در توپولوژی به ویژه زمانی که برای حالت کلی‌تر از متریک (توپولوژی‌هایی هستند که متریک‌پذیر نیستند) جایگزینی برای دنباله‌ها در بسیاری از قضایا هستند. تورها تابعی با دامنهٔ الزاماً شمارش‌پذیر نیستند و هر مجموعهٔ جهت‌داده‌شده‌ای directed set می‌تواند دامنهٔ آنها قرار بگیرد. که بحث تور مرتبط با پرسش‌های شما نیست لذا از توضیح آن در اینجا خودداری می‌کنم. برای مطالعه پیرامون تورها می‌توانید به کتاب «تجربهٔ توپولوژی» ترجمهٔ استاد محمد طباطبایی و استاد مداقالچی، اتشارات فاطمی مراجعه کنید.

Comments

@AmirHosein
ممنون بابت پاسخ خوبتون .
با توجه به گفته شما من تعاریفو ویراش کردم .ممنون میشم نگاهی بهش کنید و ببینید جامع شد یا نه؟

---

@amirm20 بلی کامل شدند (;