قطر نیمدایره سبز رنگ که بر دایره قزمز مماس است و قطر دایره قرمز که بر نیمدایره سبز رنگ مماس اند را امتداد دهید تا همدیگر را قطع کنند. مقدار امتداد قطر سبزرنگ را $x$ و مقدار امتداد قطر قرمزرنگ را $y$ بنامید. با توجه به اینکه مماس بر شعاع عمود است مثلثهای قائمالزاویه ایجاد شده توسط امتداد قطرها ، مماسها و شعاعها متشابهاند و همچنین با بکارگیری قضیه فیثاغورث داریم:
$$k:=\frac{x+r}{y+17}=\frac{y+10}{x+8}=\frac{r}{17}, (y+17)^2=(x+8)^2+17^2$$
$$ \Rightarrow r=17k,x+r=yk+17k \Rightarrow r=17k,x=yk \Rightarrow \frac{x}{y}=k$$
$$ \frac{y+10}{x+8}=\frac{x}{y} \Rightarrow y^2+10y=x^2+8x$$
$$ \Rightarrow (y+17)^2-(y^2+10y)=(x+8)^2+17^2-(x^2+8x)$$
$$24y=8x+64 \Rightarrow 3y=x+8$$
$$ \Rightarrow 3y-ky=8 \Rightarrow (3-k)y=8,(3-k)x=8k$$
حالا کسر وسط تساوی بالا را بکار بگیرید:
$$\Rightarrow \frac{(3-k)y+10(3-k)}{(3-k)x+8(3-k)}=k \Rightarrow \frac{8+30-10k}{8k+24-8k}=k$$
$$ \Rightarrow \frac{19-5k}{12}=k \Rightarrow 19-5k=12k \Rightarrow 17k=19 \Rightarrow k= \frac{19}{17}$$
$$r=17 \times \frac{19}{17}=19$$
$\Box$
