قرار دهید:
$$x:=\frac{\pi}{22}$$
$$S:=cosx.cos3x.cos5x.cos7x.cos9x$$
$$A:=sinx.sin3x.sin5x.sin7x.sin9x$$
$$B:=sin2x.sin6x.sin10x.sin14x.sin18x$$
$$C:=sin4x.sin8x.sin12x.sin16x.sin20x$$
$$D:=sin11x.sin13xsin15.sin17x.sin19x.sin21x$$
اگر $n \geq 2$ از خواص ریشه $n$ام و چند جملهایها داریم:
$$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}.....sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$
حالا از گزاره اخیر و تعاریف بالا داریم:
$$2^5SA=B,D=A,C=S=B,ABCD=A^2B^2=\frac{22}{2^{21}}$$
$$ \Rightarrow S=\frac{\sqrt{11}}{2^5}$$
$\Box$
یاد الکساندر گروتندیک ریاضیدان فقید ضد جنگ گرامی باد.
