به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
793 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

برای یک دانش آموز اول دبیرستان ثابت کنید سری زیر واگراست : $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

3 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اثباتی که آورده میشه از کازومانو می باشد و در سال 1998 ارائه شده.

$ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $

با توجه به این رابطه فرض می کنیم سری همگرا به s باشه داریم

$s=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} +...$

$=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} )+( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} )...$

$=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{30} )+( \frac{1}{4} + \frac{1}{56} )+...$

$=s+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \frac{1}{56} +...)$ که تناقضه و حکم ثابت میشه.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اثبات منگولی

$ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} = \frac{2n}{ n^{2} -1} > \frac{2}{n} $

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} > \frac{2}{3} , \frac{1}{5} + \frac{1}{7} > \frac{2}{6} ,....$

فرض کنیم سری همگرا به s باشد داریم

$s=1+( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} )+( \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} )+...$

$>1+ \frac{3}{3} + \frac{3}{6} + \frac{3}{9} +...=1+s$

که تناقض می باشد و حکم ثابت شده است.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

این اثبات برای اولین بار توسط کوهم و نایت در سال 1979 و بعدتر توسط اکر در سال 1997 ارائه شده است

فرض کنیم سری هارمونیک به s همگرا باشد در این صورت باید

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{2n} +...= \frac{1}{2}s $

حال برای اینکه سری هارمونیک به s همگرا باشد باید سری زیر به $ \frac{1}{2} s$همگرا باشد

$1+ \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{2n-1} +...$

ولی واضح است که برای n های مثبت و صحیح داریم $ \frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2n} $

و این تناقض حکم را ثابت می کند.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...