اثبات واگرایی سری هارمونیک برای دبیرستانی ها

Question

برای یک دانش آموز اول دبیرستان ثابت کنید سری زیر واگراست : $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

Answer 1

اثباتی که آورده میشه از کازومانو می باشد و در سال 1998 ارائه شده.

$ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $

با توجه به این رابطه فرض می کنیم سری همگرا به s باشه داریم

$s=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} +...$

$=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} )+( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} )...$

$=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{30} )+( \frac{1}{4} + \frac{1}{56} )+...$

$=s+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \frac{1}{56} +...)$ که تناقضه و حکم ثابت میشه.

Answer 2

اثبات منگولی (pietro mengoli)

$ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} = \frac{2n}{ n^{2} -1} > \frac{2}{n} $

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} > \frac{2}{3} , \frac{1}{5} + \frac{1}{7} > \frac{2}{6} ,....$

فرض کنیم سری همگرا به s باشد داریم

$s=1+( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} )+( \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} )+...$

$>1+ \frac{3}{3} + \frac{3}{6} + \frac{3}{9} +...=1+s$

که تناقض می باشد و حکم ثابت شده است.

Comments

@kazomano منگولی اسم فردی است؟ اگر می‌شود املای انگلیسی‌اش را هم اشاره کنید.

---

@AmirHosein  بله یک ریاضیدان اهل ایتالیا بودن.

Answer 3

این اثبات برای اولین بار توسط کوهم و نایت در سال 1979 و بعدتر توسط اکر در سال 1997 ارائه شده است

فرض کنیم سری هارمونیک به s همگرا باشد در این صورت باید

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{2n} +...= \frac{1}{2}s $

حال برای اینکه سری هارمونیک به s همگرا باشد باید سری زیر به $ \frac{1}{2} s$همگرا باشد

$1+ \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{2n-1} +...$

ولی واضح است که برای n های مثبت و صحیح داریم $ \frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2n} $

و این تناقض حکم را ثابت می کند.

Comments

در نامساوی آخر هنگام حد نامساوی اکید ممکن است به تساوی تبدیل شود
بنابراین نمی  توان این نتیجه را گرفت که
s//2>s/2

---

@ قاسم شبرنگ
دقت کنید که فرض شده سری هارمونیک به s همگراست.
در ضمن در انتها حد گرفته نشده بلکه از این موضوع استفاده شده که مجموع جملات با مخرج فرد بزرگتر از مجموع جملات با مخرج زوج است بنابراین سرانجام به $s>s$ خواهیم رسید که تناقض ایجاد می کند.