قضیه : سری $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^n $ را در نظر بگیرید . فرض کنید :
$$ \lambda = limsup_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{|a_{n}|} $$
و قرار دهید :$$R= \frac{1}{\lambda} $$
در این صورت به ازای هر $x$ که $|x| < R$ سری $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^n $ همگراست و به ازای هر $x$ که $|x| > R$ سری واگراست .
توجه : در صورتی که $lim_{n \rightarrow \infty }\sqrt[n]{|a_{n}|}$ وجود داشته باشد داریم:
$$ \lambda =lim_{n \rightarrow \infty }\sqrt[n]{|a_{n}|}$$
در مسئله داریم$a_{n}=\frac{sin\ n}{\sqrt{n^3+n}}$ حال $ \lambda $ را محاسبه می کنیم :
$$\begin{align}lim_{n \rightarrow \infty }\sqrt[n]{\frac{sin\ n}{\sqrt{n^3+n}}}&=lim_{n \rightarrow \infty }\frac{\sqrt[n]{sin\ n}}{(\sqrt[n]{n})^{\frac{3}{2}}}\\
&=\frac{1}{1^{\frac{3}{2}}}\\
&=1
\end{align} $$
پس $ \lambda =1$ بنابراین $R=1$ . حال طبق قضیه بالا اگر $|x| < 1$ آنگاه سری $ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^nsin\ n}{\sqrt{n^3+n}} $ همگراست و اگر $|x| > 1$ سری واگراست .
حال باید بررسی کنیم که اگر $x=1$ و $x=-1$ باشند سری چگونه است . اگر $x=1 $ سری به صورت زیر در می آید :
$$\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin\ n}{\sqrt{n^3+n}}$$
برای بررسی همگرایی این سری از آزمون مقایسه استفاده می کنیم :
آزمون مقایسه : فرض کنید $ \ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n} $ و $ \ \sum_{n=1}^{ \infty } b_{n} $ دو سری هستند که $a_{n},b_{n} > 0$ اگر به ازای هر $n$ داشته باشیم $ a_{n} \geq b_{n} $ آنگاه :
الف : اگر سری $ \ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n} $ همگرا باشد آنگاه $ \sum_{n=1}^{ \infty } b_{n} $ نیز همگراست .
ب : اگر سری $ \ \sum_{n=1}^{ \infty } b_{n} $ واگرا باشد آنگاه $ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n} $ نیز واگراست .
حال داریم:
$$ \frac{sin\ n}{\sqrt{n^3+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^3+n}} $$
سری $ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n^3+n}} $ همگراست ( سری ریمان) پس طبق آزمون مقایسه سری $ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin\ n}{\sqrt{n^3+n}} $ نیز همگراست .
سری ریمان : سری $ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{P(n )} $ که در آن $P(n)$ چند جمله ای است سری ریمان نامیده می شود . حال فرض کنید:
$$t=deg(P(n))$$ آنگاه :
الف : اگر$t \leq 1$ آنگاه سری واگراست .
ب : اگر$t > 1$ آنگاه سری همگراست .
در حل مسئله بالا گفتیم سری$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n^3+n}} $ همگراست چون اگر قرار دهیم $P(n)=\sqrt{n^3+n}$ آنگاه $P$ چند جمله ای درجه $\frac{3}{2}$ است و چون $\frac{3}{2} > 1$ پس سری همگراست .
حالت $x=-1 $ نیز به طور مشابه بررسی می شود .
