روش فروبنیوس

Question

در حل معادله دیفرانسیل $y'' + \dfrac{g(x)}{x} y' + \dfrac{h(x)}{x^2}y=0$ زمانی که از روش فروبنیوس استفاده می‌کنیم و از جوابی به شکل $y=\sum _{m=0}^{\infty} c_m x^{r+m}$ استفاده می‌کنیم و سپس معادله شاخص به صورت $r^2 + (g(0)-1)r+h(0)=0$ می‌باشد. با حل این معادله درجه $2$ دو ریشه به دست می‌آید حال در حالتی که معادله شاخص دارای دو ریشه متمایز باشد ولی تفاضل آن‌ها عددی صحیح باشد نوشته که اگر جواب اول به صورت $y_1$ باشد جواب دوم به صورت $y_2=ky_1lnx + x^{r_2}\sum _{m=0}^{\infty} a_m x^{m}$ می‌باشد خواستم بدونم چ جوری جواب دوم به دست آمده است؟(که در آن $r_2$ ریشه‌ی دوم و کوچک آن است)

با تشکر

Comments

توی این کتاب اثباتش وجود داره      Elementary Differential Equations with Linear Algebra
 Albert L. Rabenstein صفحات 396 تا 398
این کتاب یکی از معتبرترین کتابهای آموزشی معادلات دیفرانسیل محسوب میشه.ترجمه فارسیش میشه همون کتاب معادلات دیفرانسیل معمولی فاریابی انتشارات پیام نور

---

@wahedmohammadi
این راه رو قبلا امتحان کردم ولی به یک معادله به صورت $ln(U)=2ln(y)+\dfrac{g(x)}{x}$ می رسم که حل نمیشود.

---

@مهران
خیلی ممنون از مرجعی که معرفی کردین، ولی نمیتونم دانلودش کنم
خواهش میکنم یا اثباتش رو بذارین یا لینک کتاب را.
با تشکر

---

@reza
برات آپلودش کردم

---

@مهران
خیلی ممنون