Question

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{sinx cos^{2}x } - \frac{1}{ sin^{3} x cos^{4} x} + \frac{1}{ sin^{5} x cos^{6} x} -...$$

Answer 1

$$a= \frac{1}{sinx cos ^{2}x } \wedge r= -\frac{1}{ sin^{2} x cos^{2} x} \wedge S= \frac{a}{1-r} \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{ \frac{1}{sinx cos ^{2}x } }{1+ \frac{1}{ sin^{2}x cos ^{2}x } } = \frac{sinx}{ sin ^{2}x cos ^{2} x+1} = \frac{sinx}{1+ cos ^{2} x-cos^{4} x} \Longrightarrow y= \int \frac{sinx}{1+ cos ^{2} x- cos ^{4} x} dx \wedge u=cosx \Longrightarrow y= \int \frac{-du}{1+ u^{2} - u^{4} } =- \int \frac{du}{( \varphi - u^{2} )( \frac{1}{ \varphi } + u^{2} )} = -\frac{1}{ \varphi + \frac{1}{ \varphi } } \int \frac{ ( \varphi - u^{2} )+( \frac{1}{ \varphi } + u^{2} )}{( \varphi - u^{2} )( \frac{1}{ \varphi } + u^{2} )} du= \frac{- \varphi }{ \varphi ^{2}+1 } \int \frac{1}{ \varphi - u^{2} } + \frac{1}{ \frac{1}{ \varphi } + u^{2} } du= \frac{- \varphi }{ \varphi ^{2} +1} \frac{1}{2 \sqrt{ \varphi } } \int \frac{( \sqrt{ \varphi } +u)+( \sqrt{ \varphi } -u)}{( \sqrt{ \varphi } +u)( \sqrt{ \varphi } -u)} du- \frac{ \varphi ^{ \frac{3}{2} } }{ \varphi ^{2} +1} Arctan ( \sqrt{ \varphi } u)+C= \frac{- \sqrt{ \varphi } }{2( \varphi +2)} ln | \frac{ \sqrt{ \varphi } +u}{ \sqrt{ \varphi } -u}|- \frac{ \sqrt{ \varphi ^{3} } }{ \varphi +2} -Arctan ( \sqrt{ \varphi } u)+C= \frac{- \sqrt{ \varphi } }{ \varphi +2} Arctanh( \frac{u}{ \sqrt{ \varphi } } )- \frac{ \sqrt{ \varphi ^{3} } }{ \varphi +2} Arctan ( \sqrt{ab} u)+C=C- \frac{ \sqrt{ \varphi } }{ \varphi +2} [Artanh( \frac{cosx}{ \sqrt{ \varphi } } )- \varphi Arctan ( \sqrt{ \varphi } cosx)]$$

Answer 2

معادله دیفرانسیل داده شده به صورت زیر است: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x \cos^2 x} - \frac{1}{\sin^3 x \cos^4 x} + \frac{1}{\sin^5 x \cos^6 x} - \dots$

این یک سری هندسی با جمله اول $a = \frac{1}{\sin x \cos^2 x}$ و نسبت مشترک $r = -\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$ است. با فرض همگرا بودن سری، مجموع آن برابر است با: مجموع $= \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos^2 x}}{1 - (-\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x})} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos^2 x}}{1 + \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}} = \frac{\sin x}{\sin^2 x \cos^2 x + 1}$

بنابراین، معادله دیفرانسیل به صورت $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x \cos^2 x}$ در می‌آید. این یک معادله دیفرانسیل جداشدنی است: $dy = \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x \cos^2 x} dx$. از هر دو طرف انتگرال می‌گیریم: $y = \int \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x \cos^2 x} dx + C$.

صورت و مخرج انتگرال‌ده را بر $\cos^2 x$ تقسیم می‌کنیم: $\frac{\sin x / \cos^2 x}{(1 + \sin^2 x \cos^2 x) / \cos^2 x} = \frac{\tan x \sec x}{\sec^2 x + \tan^2 x} = \frac{\tan x \sec x}{1 + 2 \tan^2 x}$. $y = \int \frac{\tan x \sec x}{1 + 2 \tan^2 x} dx + C$. فرض می‌کنیم $v = \sec x$، آنگاه $dv = \sec x \tan x dx$. $y = \int \frac{dv}{1 + 2(\sec^2 x - 1)} = \int \frac{dv}{2 \sec^2 x - 1} = \int \frac{dv}{2v^2 - 1}$. $y = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\sqrt{2}v - 1}{\sqrt{2}v + 1}\right| + C = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\sqrt{2}\sec x - 1}{\sqrt{2}\sec x + 1}\right| + C$.

پاسخ نهایی: پاسخ نهایی $\boxed{y = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\sqrt{2}\sec x - 1}{\sqrt{2}\sec x + 1}\right| + C}$ است.